你好呀！先聊聊你的问题～首先你给出了一个具体的极限题：
$$\lim_{x \rightarrow 0}\int_{0}^{x} \frac{\cos(t^{3})}{t+x} dt$$
你提到这个问题属于积分号下取极限的范畴，已经知道解法了，现在更想找形如
$$\lim_{x \rightarrow c}\int_{f(x)}^{g(x)} h(x,t) dt$$
这类含参变量积分极限的通用技巧，还说有时候没法直接求导或者用洛必达，感觉这类问题好像没通用解法？其实还是有不少常用思路的，我给你整理几个实用的方法：

• 变量替换法：这是处理这类问题的常用入门技巧。如果积分上下限和被积函数里都有参数x，试着做个变量替换把x“剥离”出来，比如令$u = \frac{t}{x}$（像你那个具体例子就很适合），替换后积分上下限可能变成常数，被积函数的结构也会更清晰，方便后续用其他方法处理。比如你的例子替换后，积分就变成$\int_{0}^{1} \frac{\cos(x^3u3)}{u+1} du$，当x→0时，$\cos(x^3u3)$趋近于1，再用控制收敛定理就能轻松算出结果。

• 控制收敛定理：这是把极限拿到积分号里的核心定理。如果能找到一个可积的“控制函数”，使得当x趋近于c时，$|h(x,t)|$始终不超过这个控制函数，那我们就可以把极限直接移到积分内部，变成$\int_{\lim_{x→c}f(x)}^{\lim_{x→c}g(x)} \lim_{x→c} h(x,t) dt$，前提是积分上下限的极限存在哦。这个方法适用性很广，只要能找到合适的控制函数就行。

• 积分中值定理：如果被积函数h(x,t)关于t是连续的，积分区间是闭区间，那可以用中值定理把积分转化为函数值乘以区间长度：$\int_{f(x)}^{g(x)} h(x,t) dt = h(x,\xi) \cdot (g(x)-f(x))$，这里的$\xi$介于f(x)和g(x)之间。接下来只要分析这个乘积的极限就行，不过要注意$\xi$是依赖于x的，得保证$h(x,\xi)$的极限能确定。

• 拆分积分区间：如果被积函数在某些点附近有奇异性，或者x趋近于c时函数在不同区间的行为差异很大，可以把积分拆成几个部分。比如拆成靠近奇点的小邻域和剩下的常规区间，小邻域的积分用不等式估计控制住（让它趋近于0），常规区间再用控制收敛定理或者其他方法处理。

• 泰勒展开法：把被积函数h(x,t)在x趋近于c的位置做泰勒展开，然后逐项积分，最后再取极限。不过要注意逐项积分的合法性，一般需要满足一致收敛的条件，不然可能会出错。

另外你提到没法直接用洛必达，其实如果这个积分是变限积分F(x)，且F(x)是0/0或者∞/∞型的不定式，洛必达是可以用的，只是求导的时候要用到莱布尼茨公式：
$$F'(x) = h(x,g(x))g'(x) - h(x,f(x))f'(x) + \int_{f(x)}^{g(x)} \frac{\partial h}{\partial x}(x,t)dt$$
但如果偏导数不好求或者积分难以计算，那洛必达确实不是最优选择，这时候上面的那些方法就更实用啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nikita Artemenko