嘿，这个问题完全可以用复变函数的基础工具搞定，不用依赖多变量微积分里的逆函数定理，我给你理理清晰的思路：

首先，先明确我们的研究对象：割平面$C_\pi = {z \in \mathbb{C} : z \neq x \in \mathbb{R}, x \leq 0}$，这里面的每个复数都能唯一表示成极坐标形式：$z = |z|e^{i\theta}$，其中$|z| > 0$，$\theta \in (-\pi, \pi)$（因为负实轴被去掉了，辐角不会取到$\pm\pi$）。

题目里定义的平方根函数$r(z)$满足$(r(z))^2 = z$且$\operatorname{Re}r(z) > 0$，对应的极坐标形式很直观：$r(z) = \sqrt{|z|}e^{i\theta/2}$。这里$\sqrt{|z|}$是正实数平方根，而$\theta/2 \in (-\pi/2, \pi/2)$，刚好保证$\operatorname{Re}r(z) = \sqrt{|z|}\cos(\theta/2) > 0$（毕竟余弦函数在$(-\pi/2, \pi/2)$上都是正的）。

接下来用序列连续性来证明（度量空间里序列连续性等价于函数连续性）：
假设在$C_\pi$中有序列${z_n}$收敛到某个$z_0 \in C_\pi$，我们需要证明${r(z_n)}$收敛到$r(z_0)$。
设$z_n = |z_n|e^{i\theta_n}$，$z_0 = |z_0|e^{i\theta_0}$，其中$\theta_n, \theta_0 \in (-\pi, \pi)$。因为$z_n \to z_0$，可以得到两个关键结论：

• 模长收敛：$|z_n| \to |z_0|$，因此正实数平方根$\sqrt{|z_n|} \to \sqrt{|z_0|}$（这是实数域里的基础结论，很容易验证）；
• 辐角收敛：由于$z_0$不在负实轴上，$\theta_0 \neq \pm\pi$，当$n$足够大时，$z_n$不会靠近负实轴，所以$\theta_n$会稳定收敛到$\theta_0$（不会出现辐角跳变$\pm2\pi$的情况，割平面的限制保证了这一点）。

现在看$r(z_n) = \sqrt{|z_n|}e^{i\theta_n/2}$，$r(z_0) = \sqrt{|z_0|}e^{i\theta_0/2}$。因为$\sqrt{|z_n|} \to \sqrt{|z_0|}$，$\theta_n/2 \to \theta_0/2$，而指数函数$e^{i\phi}$在$\phi \in \mathbb{R}$上是连续的，所以$e^{i\theta_n/2} \to e^{i\theta_0/2}$。两个连续函数的乘积依然连续，因此$r(z_n) \to r(z_0)$，满足序列连续性的要求，也就证明了$r(z)$在$C_\pi$上连续。

如果你想用ε-δ定义来证，思路也类似：
对于任意$\varepsilon > 0$，我们需要找到$\delta > 0$，使得当$|z - z_0| < \delta$时，$|r(z) - r(z_0)| < \varepsilon$。
先对$r(z) - r(z_0)$做变形：
$$
r(z) - r(z_0) = \frac{(r(z))^2 - (r(z_0))^2}{r(z) + r(z_0)} = \frac{z - z_0}{r(z) + r(z_0)}
$$
因此$|r(z) - r(z_0)| = \frac{|z - z_0|}{|r(z) + r(z_0)|}$。

接下来找$|r(z) + r(z_0)|$的下界：因为$z_0 \in C_\pi$，$\operatorname{Re}r(z_0) > 0$，我们可以取一个足够小的$\delta_1 > 0$，使得当$|z - z_0| < \delta_1$时，$z$仍在$C_\pi$内，且$\operatorname{Re}r(z) > \frac{1}{2}\operatorname{Re}r(z_0) > 0$（毕竟$z$靠近$z_0$时，$r(z)$的实部不会突然变负）。此时$\operatorname{Re}(r(z) + r(z_0)) = \operatorname{Re}r(z) + \operatorname{Re}r(z_0) > \frac{3}{2}\operatorname{Re}r(z_0) > 0$，所以$|r(z) + r(z_0)| \geq \operatorname{Re}(r(z) + r(z_0)) > \frac{3}{2}\operatorname{Re}r(z_0)$，这是一个正的常数。

最后取$\delta = \min(\delta_1, \varepsilon \cdot \frac{3}{2}\operatorname{Re}r(z_0))$，当$|z - z_0| < \delta$时：
$$
|r(z) - r(z_0)| = \frac{|z - z_0|}{|r(z) + r(z_0)|} < \frac{\varepsilon \cdot \frac{3}{2}\operatorname{Re}r(z_0)}{\frac{3}{2}\operatorname{Re}r(z_0)} = \varepsilon
$$
完全满足ε-δ的连续性定义。

两种方法都避开了逆函数定理，全是用复分析的基础定义和性质推导的～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者HIH