嘿，这个问题真的很实用——尤其是在做性能敏感的平方根实现时，这种低成本的近似公式太香了！让我一步步拆解原公式里的常数，再聊聊八进制下怎么搞类似的近似方案。

一、十进制公式里的常数到底怎么来的？ #

先把原公式拆解开看：原公式针对的是十进制数 ( S = a \times 10^{2n} )（这里 ( a \in [1,10) )），所以 ( \sqrt{S} = \sqrt{a} \times 10^n )，核心其实是用 ( \sqrt{a} \approx \frac{-190}{a+20} + 10 ) 来拟合 ( \sqrt{a} ) 在 ( [1,10] ) 区间的曲线。

这些常数（-190、20、10）本质是有理函数拟合的结果：

1. 这种分式形式的近似（也叫帕德逼近的简化版），比分段线性近似精度更高，计算时只需要加减乘除，比牛顿迭代这类迭代法成本低很多，特别适合嵌入式或者算力有限的场景。
2. 具体数值是通过最小二乘法或者关键节点插值得到的——简单说就是找一组常数，让这个分式在 ( a \in [1,10] ) 区间内的整体误差最小。比如代入几个关键点验证：
   • 当 ( a=1 ) 时，( \frac{-190}{1+20}+10 \approx 0.95 )，接近真实值1；
   • 当 ( a=4 ) 时，( \frac{-190}{4+20}+10 \approx 2.08 )，接近真实值2；
   • 当 ( a=9 ) 时，( \frac{-190}{9+20}+10 \approx 3.45 )，接近真实值3；
     整体误差在可接受范围内，完美平衡了精度和计算量。

二、八进制下的近似公式怎么搞？ #

既然你要针对八进制（毕竟2的幂次在计算机里处理起来更友好），思路和十进制完全一致，只需要调整归一化方式和拟合区间：

1. 先做归一化处理

把目标数 ( S ) 写成 ( S = a \times 8^{2n} )，其中 ( a \in [1,8) )，这样 ( \sqrt{S} = \sqrt{a} \times 8^n )，问题就转化为拟合 ( \sqrt{a} ) 在 ( [1,8) ) 区间的近似式。

2. 拟合合适的有理函数

你可以沿用十进制的分式形式 ( \sqrt{a} \approx k - \frac{m}{a + b} )，通过采样关键点解方程或者最小二乘法找常数：

• 比如先取几个关键的完全平方数：( a=1 )（( \sqrt{a}=1 )）、( a=4 )（( \sqrt{a}=2 )）、( a=8 )（( \sqrt{a}\approx2.828 )）；
• 代入式子解方程组，或者试凑整数常数（毕竟整数计算更快）：
  比如试出来一组近似：( \sqrt{a} \approx 4.67 - \frac{29.3}{a + 7} )，如果要整数的话，可以调整为 ( \sqrt{a} \approx 5 - \frac{30}{a + 7} )，验证一下：
  • ( a=1 ) 时，( 5 - 30/(1+7)=5-3.75=1.25 )，误差0.25；
  • ( a=4 ) 时，(5 -30/(4+7)\approx5-2.73=2.27)，误差0.27；
  • ( a=8 ) 时，(5-30/(8+7)=5-2=3)，误差0.172；
    这个精度对于快速估算来说足够了，如果想要更高精度，可以缩小拟合区间——比如把 ( a ) 归一化到 ( [1,2) )（通过调整 ( n )，把 ( a ) 除以 ( 8^k ) 直到落在这个区间），这样用线性近似都能达到不错的精度，比如 ( \sqrt{a} \approx 1 + 0.414(a-1) )，误差极小。

3. 优化小技巧

如果是在计算机里实现，完全可以把除法换成移位（因为8是2的幂），比如 ( 8^n = 2^{3n} )，直接用位运算就能搞定，比十进制的乘10高效太多。

总结一下 #

• 十进制里的常数是为了拟合 ( \sqrt{a} ) 在 ( [1,10] ) 区间的有理近似，平衡精度和计算成本；
• 八进制下照搬这个思路，先归一化，再拟合对应区间的近似函数，甚至可以利用2的幂次特性进一步优化计算效率。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hendrik Hübner