嘿，这个问题乍一看有点绕，咱们一步步拆解就清楚了！你提到Cantor函数不行，确实是这样——Cantor函数虽然在Cantor集的补集开区间上是常数，但它在整个实数域上都是连续的，而Cantor集是无处稠密的，也就是说每个连续点的任意邻域里都包含Cantor集的点，这时候函数值会变化，完全不符合“连续点的邻域内F为常数”的要求。

首先咱们先明确几个关键前提：

• 任何CDF的间断点（也就是跳跃点）一定是可数的，因为每个间断点对应一个正概率$P(X=x)=F(x)-F(x^-)$，而概率的可数可加性决定了这些正概率的总和不能超过1，所以最多只能有可数个这样的点。
• 非离散随机变量的定义是：它的概率不能完全集中在可数个点上（否则就是离散型了），也就是说它的CDF不能是单纯的阶梯函数。

现在假设存在你描述的这样的CDF $F$：每个连续点$x$都有一个邻域，$F$在这个邻域内是常数。我们把所有连续点的集合记为$S$，间断点集合记为$D$（可数）：

1. 对于每个$x∈S$，取包含$x$的开区间$I_x$，使得$F$在$I_x$上为常数。把这些区间的并集记为$U$，显然$U$是开集，且$S⊆U$。同时$U$里的所有点都是连续点（因为$F$在区间上常数，自然在区间内每个点都连续），所以$S=U$。
2. $U$作为开集，可以拆成可数个不交的开区间的并：$U=∪_n(a_n,b_n)$，在每个$(a_n,b_n)$上$F$都是常数$c_n$。这意味着$F$在这些开区间上的概率测度为0（因为$F(b_n)-F(a_n)=0$）。
3. 而$U$的补集就是间断点集合$D$，是可数闭集。那么整个实数轴的概率测度就等于$D$上的概率测度之和，也就是所有间断点的跳跃高度之和——这完全就是离散型随机变量的特征！

这就和我们“非离散随机变量”的假设矛盾了。

所以结论很明确：不存在这样的非离散随机变量。你的直觉里想到Cantor函数是合理的，但它不符合条件，而本质上因为概率测度的可数可加性，满足你描述的CDF必然是离散型的，没法是非离散的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者badinmaths