嗨，我来给你梳理下这个问题的思路～首先得先确认下你提到的定理表述是不是有点小偏差？标准的类似定理应该是这样的：如果连续函数$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$满足存在某个$M>0$，使得对所有$x \notin B(0,M)$，都有$d_2(x, f(x)) < d_2(x, 0)$（也就是$|f(x)-x| < |x|$），那$f$一定存在不动点。如果是你说的“对每个$\epsilon>0$，$x \in B(0,M)$时$d_2(x,f(x))<\epsilon$”，那其实直接就能推出在$B(0,M)$里$f(x)=x$——毕竟如果有某个点$x_0$使得$f(x_0)\neq x_0$，取$\epsilon = d_2(x_0,f(x_0))/2>0$就不符合条件了，那这时候闭球里的所有点都是不动点，结论直接成立。

假设是标准的定理版本，咱们可以用布劳威尔不动点定理来证明，步骤如下：

1. 先考虑闭球$\overline{B}(0,M)$，这是$\mathbb{R}^n$中的非空紧凸集，完全符合布劳威尔不动点定理的应用前提。

2. 定义一个辅助函数$g: \overline{B}(0,M) \to \overline{B}(0,M)$：

   • 当$x \in \overline{B}(0,M)$且$f(x) \in \overline{B}(0,M)$时，令$g(x)=f(x)$；
   • 当$f(x) \notin \overline{B}(0,M)$时，$g(x)$是线段$[x, f(x)]$与球边界$\partial B(0,M)$的交点（简单说就是把$f(x)$“拉回”到球面上）。

3. 先验证$g$的连续性：因为$f$是连续的，分段定义的$g$在边界处（即$f(x)$刚好在球面上时）两种定义一致，所以$g$整体连续。

4. 根据布劳威尔不动点定理，$g$在$\overline{B}(0,M)$中必有一个不动点$x_0$，也就是$g(x_0)=x_0$。

5. 分两种情况讨论这个不动点：

   • 如果$x_0$在球内部（$|x_0| < M$），那根据$g$的定义，$g(x_0)=f(x_0)$，所以直接得到$f(x_0)=x_0$，这就是我们要找的不动点；
   • 如果$x_0$在球边界上（$|x_0|=M$），咱们用反证法：假设$f(x_0)\neq x_0$，根据定理条件$|f(x_0)-x_0| < |x_0|=M$。因为$f(x_0)$在球外（否则$g(x_0)=f(x_0)=x_0$，矛盾），所以$|f(x_0)|>M$。此时$g(x_0)=x_0$意味着$x_0$是从$f(x_0)指向原点的射线与球面的交点，也就是存在$t \in (0,1)$使得$x_0 = t \cdot f(x_0)$（因为$|f(x_0)|>M$，所以$t=M/|f(x_0)|<1$）。那$|f(x_0)-x_0| = |f(x_0)-t f(x_0)|=(1-t)|f(x_0)|=|f(x_0)|-M$。但根据定理条件，这个值要小于$M$，也就是$|f(x_0)|-M < M$，即$|f(x_0)|<2M$。

   接下来我们看向量内积：$x_0 \cdot (f(x_0)-x_0)=t f(x_0) \cdot (f(x_0)-t f(x_0))=t(1-t)|f(x_0)|^2>0$，这说明$x_0$与$f(x_0)-x_0$的夹角是锐角，那么线段$[x_0,f(x_0)]$上靠近$x_0$的点的范数会小于$M$，这和$f(x_0)$在球外的假设矛盾——因为如果$f(x_0)$在球外，线段$[x_0,f(x_0)]$上的点应该从$x_0$（球面）逐渐延伸到球外，范数只会越来越大。所以这个假设不成立，只能是$f(x_0)=x_0$。

总之，核心思路是借助布劳威尔不动点定理，通过构造一个把函数值限制在紧凸集内的辅助函数，再分情况讨论不动点的位置，最终证明原函数存在不动点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Saim Faigol