嘿，我最近在研究怎么判断两个$N \times N$矩阵A和B是不是置换相似的——也就是存在一个置换$\sigma$，使得A_ij = B_{σ(i)σ(j)}，记作A~B。为了简化问题，我先假设A的特征值都是非简并的。

首先我能确定的是：如果A~B，那A和B的特征值肯定是完全相同的，这是置换相似矩阵的基本性质。

接下来我想到了一个延伸思路：

• 构造一组矩阵集合{Ãᵐ | m=1,2,...,N}，每个Ãᵐ都是去掉A的第m行和第m列后得到的$(N-1) \times (N-1)$矩阵
• 计算每个Ãᵐ的$(N-1)$个特征值，如果A~B，那这些特征值应该和B对应去掉某一行列后的矩阵的特征值完全匹配

把所有Ãᵐ的特征值加起来，总共有$N \times (N-1)$个，再加上A本身的$N$个特征值，总共就有$N^{2$个特征值。如果`A~B`，那`B`对应的这$N}2$个特征值肯定和A的完全一致。

我注意到这$N^{2$个特征值的自由度刚好和矩阵元素的自由度$N}2$是一样的，所以理论上应该没法通过连续修改A的元素，同时保持这$N^{2$个特征值不变。那是不是就意味着，只要两组矩阵的这$N}2$个特征值完全一致，就能判断它们是置换相似的？

不过我总觉得这个思路可能存在疏漏，想确认一下这个判断逻辑是否正确。我的最终目的是，给定一个矩阵A，从大量候选矩阵B里高效筛选出和A置换相似的矩阵。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Takao Kotani