嗨，我来帮你搞定这个斯特姆-刘维尔问题的特征值求解！你已经会解y'' + λy = 0带齐次边界条件的情况，这刚好是我们破解这个复杂问题的关键——只需要做一个变量替换，就能把当前的方程转化成你熟悉的形式。

我们先把原问题再明确一下：

方程：(1/(3x²+1) y')' + λ(3x²+1)y = 0
边界条件：y(0)=0，y(π)=0

步骤1：做自变量替换，简化方程 #

这个方程属于斯特姆-刘维尔的标准形式(p(x)y')' + (q(x)+λr(x))y=0，这里p(x)=1/(3x²+1)，r(x)=3x²+1，刚好p(x)=1/r(x)，这时候我们可以引入一个新的自变量t，让它满足：

t = ∫√(r(x)/p(x)) dx

计算这个积分：
√(r(x)/p(x)) = √[(3x²+1)/(1/(3x²+1))] = 3x²+1，所以积分结果是：

t = ∫(3x²+1)dx = x³ + x

（常数项取0就行，不影响后续计算）

步骤2：把原方程转化为熟悉的形式 #

接下来我们把原方程里的导数都换成对t的导数：

• 首先，y' = dy/dx = dy/dt * dt/dx = (3x²+1) dy/dt
• 然后计算(1/(3x²+1) y')'：先算括号里的部分，1/(3x²+1)*y' = dy/dt，再对x求导，得到d/dx(dy/dt) = d²y/dt² * dt/dx = (3x²+1) d²y/dt²

把这个结果代入原方程，就得到：

(3x²+1) d²y/dt² + λ(3x²+1)y = 0

两边同时除以3x²+1（这个式子恒大于0，不会有问题），就化简成了你最熟悉的方程：

d²y/dt² + λy = 0

步骤3：转换边界条件 #

现在我们把原边界条件对应到t的范围：

• 当x=0时，t=0³+0=0，所以y(t=0)=y(0)=0
• 当x=π时，t=π³+π，所以y(t=π³+π)=y(π)=0

步骤4：求解特征值 #

现在就可以用你熟悉的方法解这个常系数方程了：

• 若λ<0：通解是y(t)=Ae^√(-λ)t + Be^(-√(-λ)t)，代入边界条件后只能得到零解，没有非零特征函数，所以没有负特征值。
• 若λ=0：通解是y(t)=At+B，代入边界条件也只能得到零解，所以λ=0不是特征值。
• 若λ>0：通解是y(t)=Acos(√λ t)+Bsin(√λ t)，代入y(0)=0得A=0，通解简化为y(t)=Bsin(√λ t)。再代入y(π³+π)=0，要得到非零解必须满足：

sin(√λ (π³+π))=0

这意味着√λ (π³+π)=nπ，其中n=1,2,3,...（n取正整数，避免重复的特征值）

解这个式子得到：

√λ = nπ/(π³+π) = n/(π²+1)

所以特征值为：

λ_n = (n/(π²+1))² = n²/(π²+1)² ，n=1,2,3,...

对应的特征函数就是y_n(x)=sin(n(x³+x)/(π²+1))（把t=x³+x代回去就行）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者neelkanth