咱们先把问题拆解清楚：假设函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 在点 $a \in \mathbb{R}$ 处间断，而 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 是一个连续函数，那复合函数 $g \circ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 一定也在 $a$ 点间断吗？

你已经想到了最经典的反例：如果 $g$ 是常函数，那不管 $f$ 怎么间断，$g \circ f$ 都会变成常函数，自然在所有点都连续，包括 $a$ 点。那接下来的问题就是——有没有什么附加条件，能让“$g \circ f$ 在 $a$ 点间断”这个命题成立？你提到的“$g$ 在 $f(a)$ 的某个邻域内非恒常”是不是足够？

答案是：这个条件还不够，咱们举个反例就能看出来：

• 设 $f(x)$ 是狄利克雷函数：当 $x$ 为有理数时 $f(x)=0$，当 $x$ 为无理数时 $f(x)=1$，这个函数在每一点都间断。
• 取连续函数 $g(x)=x^2 - x$，它在 $f(a)$（不管 $a$ 是有理数还是无理数，$f(a)$ 要么是0要么是1）的邻域里显然不是常函数，但计算复合函数会发现：$g(f(x))=g(0)=0$ 当 $x$ 是有理数时，$g(f(x))=g(1)=0$ 当 $x$ 是无理数时，所以 $g \circ f$ 是恒为0的常函数，处处连续。

那什么样的条件才足够呢？这里给你几个等价的、能保证命题成立的条件：

• $g$ 在 $f(a)$ 的某个邻域内是严格单调的：因为连续的严格单调函数在局部是单射（一一对应）的，不会把不同的函数值映射成同一个结果。
• $g$ 在 $f(a)$ 的某个邻域内是单射的：这是更直接的条件，意思是在 $f(a)$ 附近，不同的 $y$ 值对应不同的 $g(y)$ 值。
• 如果 $g$ 可导的话，$g'(f(a)) \neq 0$：根据导数的几何意义，这意味着 $g$ 在 $f(a)$ 附近是严格单调的，自然满足上面的条件。

为什么这些条件能保证 $g \circ f$ 在 $a$ 处间断呢？咱们简单推导一下：
假设 $g$ 在 $f(a)$ 的邻域 $U$ 内是单射，而 $f$ 在 $a$ 处间断，那么要么：

1. $\lim_{x \to a} f(x)$ 不存在：这时候能找到两个趋近于 $a$ 的序列 $x_n$ 和 $x'_n$，使得 $f(x_n)$ 趋近于 $L_1$，$f(x'_n)$ 趋近于 $L_2$，且 $L_1 \neq L_2$（且都在 $U$ 内）。因为 $g$ 连续且单射，$g(L_1) \neq g(L_2)$，所以 $g(f(x_n))$ 和 $g(f(x'_n))$ 会趋近于不同的值，说明 $g \circ f$ 在 $a$ 处极限不存在，即间断。
2. $\lim_{x \to a} f(x) = L \neq f(a)$：因为 $g$ 连续，$\lim_{x \to a} g(f(x)) = g(L)$，而 $g(f(a)) = g(f(a))$，又因为 $L \in U$ 且 $g$ 单射，所以 $g(L) \neq g(f(a))$，这就说明 $g \circ f$ 在 $a$ 处的极限不等于函数值，即间断。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者herbhofsterd