嘿，我看你在这个证明里卡壳了，其实不用纠结“r要无限大”这个误区——我们用双向包含的经典方法来拆解这个问题就清晰多了，一步步来：

首先先明确下关键定义，避免混淆：

• $S_\epsilon = {x \in X: d(x, X \setminus S) \geq \epsilon}$，这里$d(x, A)$是点x到集合A的距离，也就是$\inf{d(x,a) | a \in A}$
• $\text{int}(S)$是S的内部，说白了就是所有能找到一个完全包含在S里的开球的点的集合

第一部分：证明$\bigcup_{\epsilon >0} S_\epsilon \subseteq \text{int}(S)$ #

随便取一个$x \in \bigcup_{\epsilon >0} S_\epsilon$，这意味着肯定存在某个$\epsilon_0 > 0$，让$x \in S_{\epsilon_0}$——也就是x到S的补集$X\setminus S$的距离至少是$\epsilon_0$。

现在我们构造开球$B(x, \epsilon_0)$，来证明这个开球完完全全在S里面：
假设存在某个$y \in B(x, \epsilon_0)$但$y$属于$X\setminus S$，那根据距离的定义，$d(x, X\setminus S) \leq d(x,y)$（因为y是补集里的点，距离的下确界肯定小于等于x到y的距离）。但$y$在开球$B(x, \epsilon_0)$里，说明$d(x,y) < \epsilon_0$，这就和$d(x, X\setminus S) \geq \epsilon_0$矛盾了。

所以$B(x, \epsilon_0) \subseteq S$，这就说明x是S的内点，也就是$x \in \text{int}(S)$。你之前觉得“r要无限大”是想错了——我们只需要用x对应的那个$\epsilon_0$当半径（甚至取$\epsilon_0/2$也没问题），就能得到包含在S里的开球，根本不需要无限大的半径。

第二部分：证明$\text{int}(S) \subseteq \bigcup_{\epsilon >0} S_\epsilon$ #

再取任意一个$x \in \text{int}(S)$，根据内部的定义，肯定存在某个$r > 0$，使得开球$B(x, r)$完全包含在S里。

现在看x到$X\setminus S$的距离：因为$B(x, r)$和$X\setminus S$没有交集，所以对于补集里的任意点$a$，$d(x,a) \geq r$——不然如果$d(x,a) < r$，那a就会在开球里，和开球包含在S里矛盾。所以$d(x, X\setminus S) = \inf{d(x,a) | a \in X\setminus S} \geq r$，这就说明$x \in S_r$，而$S_r$是$\bigcup_{\epsilon >0} S_\epsilon$中的一个集合，所以x自然属于这个并集。

关于你提到的$S_\epsilon$是闭集的小补充 #

其实在这个证明里，闭集的性质不是必须的，但既然你提到了，我可以说下它的辅助作用：你会发现$\epsilon$越小，$S_\epsilon$越大（比如$\epsilon_1 < \epsilon_2$时，$S_{\epsilon_2} \subseteq S_{\epsilon_1}$，因为距离≥ε₂的点肯定满足距离≥ε₁），所以$\bigcup_{\epsilon>0}S_\epsilon$其实等于$\bigcup_{n=1}^\infty S_{1/n}$（因为任意$\epsilon>0$，都存在自然数n使得$1/n < \epsilon$，所以$S_\epsilon \subseteq S_{1/n}$）。每个$S_{1/n}$是闭集，但可数个闭集的并不一定是开集，不过我们最终得到的是int(S)——这本身就是开集，也符合我们的证明结果。

总的来说，你之前的思路绕远了，不用直接证明并集是开集，而是通过每个点对应内点/属于某个$S_\epsilon$来完成双向包含，这样就清晰多了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Peter Sampodiras