嘿，这个问题我刚看到的时候也差点踩坑——你犯了一个向量运算里很容易混淆的错误！

先帮你拆解矛盾点：你直觉里觉得应该有无限个$z$是完全正确的，但代数推导时的问题出在把向量点积当成了普通标量乘法来处理，尤其是最后一步“约掉”$(x-y)$的操作，这在向量运算里是绝对不成立的！

我们重新理一遍正确的推导逻辑：
首先，向量的“平方”其实是自身的点积，也就是对于任意向量$w$，$|w|^2 = w \cdot w$。所以展开$|z-x|=|z-y|$的等式应该是：
$$(z-x) \cdot (z-x) = (z-y) \cdot (z-y)$$
展开点积后得到：
$$|z|^2 - 2z \cdot x + |x|^2 = |z|^2 - 2z \cdot y + |y|^2$$
消去$|z|^2$，整理得：
$$2z \cdot (y - x) = |y|^2 - |x|^2$$

到这里都是对的，接下来你把右边写成$(x+y)(x-y)$——严格来说应该是$(x+y) \cdot (x-y)$，这部分是没问题的，因为点积的分配律确实能推出$|x|^2 - |y|^2 = (x+y) \cdot (x-y)$。但关键错误来了：你直接把这个点积等式当成标量等式，两边“除以”向量$(x-y)$，得到$z=(x+y)/2$。

但向量是没有除法的！这个等式的正确解读应该是：
$$(2z - (x+y)) \cdot (x-y) = 0$$
这意味着向量$2z - (x+y)$和向量$x-y$是正交的，也就是说，所有满足$|z-x|=|z-y|$的点$z$，都落在过$x$和$y$中点$(x+y)/2$、且垂直于$x-y$方向的$(k-1)$维超平面上。

现在再结合题目里的第二个条件$|z-x|=r$：这个条件表示$z$在以$x$为球心、$r$为半径的$k$维球面上。当$2r > d$（$d=|x-y|$）时，这个超平面和球面的交集是一个$(k-2)$维的球面。因为题目里$k≥3$，所以$k-2≥1$——1维及以上的球面都包含无限个点，这就和你的直觉完全一致了！

而你推导出来的$z=(x+y)/2$，只是这个超平面上的一个特殊点（也就是中点），它满足$|z-x|=d/2$，只有当$r=d/2$时才是唯一解，但题目里是$2r>d$，所以这个中点只是无限个解中的一个而已。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者C_Arietta_C