我最近在做Hartshorne《代数几何》第306页的习题IV.2.7时，遇到了几个绕不开的困惑，想跟大家请教一下：

这道题要求我们证明：给定Hartshorne意义下的曲线$Y$（即代数闭域上的不可约、完备、非奇异曲线），次数为2的有限平展态射$f:X\to Y$与$\mathrm{Pic}(Y)$中的2-挠元之间存在一一对应。但题目里并没有假设$X$是连通的（也就不一定是曲线），这就带来了几个问题：

• 有限平展态射的次数定义问题：如果$X$不连通，该怎么定义$f$的次数？我自己想到一个合理的方式：通过$f_\flat:\mathscr{O}Y\to f\mathscr{O}X$这个同态，把$\deg f$定义为$f\mathscr{O}_X$作为局部自由$\mathscr{O}_Y$-模的秩。不知道这个定义是不是符合题目的意图？

• 习题(a)的引用合理性问题：习题(a)里用到了之前的习题IV.2.6(d)来证明$(\det f_*\mathscr{O}_X)^2\simeq\mathscr{O}_Y$，但IV.2.6的结论只针对曲线之间的有限态射。如果$X$不连通，那这个引用是不是不成立？该怎么解决这个问题？

• 连通$X$情况下的整性矛盾：如果我们假设$X$是连通的曲线，那在做习题(b)时，若取$\mathscr{L}=\mathscr{O}_Y$，则$\mathrm{Spec}(\mathscr{O}_Y\oplus\mathscr{L})$看起来并不是整的——因为这个环层上的乘法定义是：
  $$(a,b)\cdot(a',b')=(aa'+bb',ab'+a'b)$$
  很明显$(1,1)\cdot(1,-1)=(0,0)$，这说明存在零因子。我是不是哪里理解错了题目中的构造？

后来我又想了想，如果$X$不连通的话，这类平展态射其实可以对应到$Y\sqcup Y\to Y$的余对角线态射$\nabla$，也就是所谓的“平凡平展覆盖”。是不是我们其实可以不妨假设$X$是连通的？但即使这样，上面的几个问题还是没完全搞清楚。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ZCC