嘿，我来帮你理清这个困惑点！你一开始的思路里有个容易忽略的关键细节——我们得先盯紧反余割函数的定义域，才能判断这个极限到底存不存在。

首先拆解一下原式里的分式：当$x\to\infty$时，$\frac{x}{x+7} = \frac{1}{1+\frac{7}{x}}$，确实会趋近于1，但这里要分两种情况看$x$趋向无穷的方向：

• 当$x\to+\infty$时，$x$和$x+7$都是正数，而且$x < x+7$，所以$\frac{x}{x+7}$始终是小于1的正数，也就是落在$(0,1)$区间里。但反余割函数$\operatorname{cosec}^{-1}y$的定义域是$(-\infty,-1] \cup [1,+\infty)$，换句话说，它根本不接受$(0,1)$里的数！所以当$x$往正无穷跑的时候，$\operatorname{cosec}^{-1}\frac{x}{x+7}$这个表达式完全没有定义，更别说有极限了。
• 当$x\to-\infty$时，$x$和$x+7$都是负数，这时候$\frac{x}{x+7}$是正数，而且因为$x < x+7$（比如$x=-100$时，$x+7=-93$，显然$-100 < -93$），所以$\frac{x}{x+7} = \frac{负数}{负数}$，结果是大于1的正数，落在反余割函数的定义域里。这时候当$x\to-\infty$，$\frac{x}{x+7}\to1^{+$（从大于1的方向趋近1），对应的$\operatorname{cosec}}{-1}y$的极限是$\frac{\pi}{2}$。

而我们说$\lim_{x\to\infty}$存在的前提是：$x$往正无穷和负无穷两个方向趋近时，函数要么都有定义且极限相等，要么至少在两个方向上的行为是一致的。但这里$x\to+\infty$时函数根本没定义，满足不了极限存在的条件，所以整个$\lim_{x\to\infty} \operatorname{cosec}^{-1}\frac{x}{x+7}$是不存在的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TheCuriousOne