嘿，这个问题问得特别到位！咱们一步步来把这个点掰扯清楚，先解决你最疑惑的满射稳定性问题，再聊聊$x \mapsto df_x$的一般性质。

为什么满射性在$x$的邻域里保持？ #

首先得回忆一个线性代数的关键结论：对于从$\mathbb{R}^{n$到$\mathbb{R}}m$的线性映射$T$，$T$是满射的充要条件是它的秩等于目标空间的维度$m$（因为满射意味着像空间就是整个$\mathbb{R}^m$，维度自然是$m$）。

现在看光滑函数$f$的微分$df_y$：在标准坐标系下，$df_y$对应一个$m \times n$的矩阵，矩阵里的每个元素都是$f$的偏导数$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(y)$。因为$f$是光滑的，所有这些偏导数都是连续函数。

当$df_x$是满射时，它的秩是$m$，这意味着这个矩阵里至少存在一个$m \times m$的子矩阵，它的行列式不等于0（毕竟秩为$m$的话，必有一个$m$阶子式可逆，也就是行列式非零）。这个非零的行列式是关于$y$的连续函数——因为它是偏导数的多项式组合，而偏导数连续，所以整个行列式函数也连续。

根据连续函数的基本性质：如果一个连续函数在点$x$处取值不为0，那么必然存在$x$的一个开邻域$V$，使得这个函数在$V$内的每一点都不为0。这就意味着，对于每个$y \in V$，$df_y$对应的矩阵都有一个非零的$m$阶子式，所以它的秩至少是$m$；而因为目标空间是$\mathbb{R}^m$，线性映射的秩最多只能是$m$，所以$df_y$的秩恰好是$m$，也就是$df_y$是满射的。这就是那篇证明里结论的由来。

关于映射$x \mapsto df_x$的一般性质 #

这个映射其实是从开集$U$到**线性映射空间$\mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$**的光滑映射：

• 我们可以把$\mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^{m)$和$\mathbb{R}}{n \times m}$（所有$m \times n$实矩阵的空间）等同起来，而$df_x$的矩阵元素都是$f$的光滑偏导数，所以这个映射本身是光滑的（甚至是$C^\infty$的，和$f$的光滑性一致）。
• 秩的连续性相关性质：
  • 映射$x \mapsto \text{rank}(df_x)$是下半连续的：也就是说，对于任意整数$k$，集合${ y \in U \mid \text{rank}(df_y) \geq k }$是$U$中的开集（就像我们刚才的满射情况，对应$k=m$）。
  • 反过来，集合${ y \in U \mid \text{rank}(df_y) \leq k }$是闭集，因为它是所有$(k+1)$阶子式的零点集，而子式是连续函数，零点集是闭集。
• 类似的单射稳定性：如果$df_x$是单射的（等价于秩为$n$），同样存在$x$的开邻域$V$，使得所有$y \in V$的$df_y$都是单射的，证明思路和满射完全一致。
• 这个秩的局部稳定性是隐函数定理和秩定理的核心基础之一——正是因为秩在局部保持不变，我们才能在局部把光滑函数$f$简化成类似线性映射的标准形式，极大地简化分析。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Luigi Traino