Hey there! Great question—avoiding that specific tautology while satisfying your professor's requirements is totally doable. Here are a couple of approaches you can take:

1. 先通过命题自然演绎证明所需重言式 #

你的原始证明逻辑是成立的，但既然教授要求你不用真值表证明$(p \land q) \rightarrow p$这个重言式，你可以直接把这个重言式的命题自然演绎证明嵌入到模态证明里。具体步骤如下：

首先，用自然演绎证明$(p \land q) \rightarrow p$（无需真值表）：

• 假设$p \land q$（条件证明的假设）
• 通过合取消去规则（基础自然演绎规则），推导得出$p$
• 解除假设，得到结论$(p \land q) \rightarrow p$

接下来，把这个已证明的定理用到模态证明中：

1. $\vdash (p \land q) \rightarrow p$（上述步骤已证）
2. $\vdash \Box((p \land q) \rightarrow p)$（对步骤1应用必然化规则）
3. $\vdash \Box((p \land q) \rightarrow p) \rightarrow (\Box(p \land q) \rightarrow \Box p)$（K公理）
4. $\vdash \Box(p \land q) \rightarrow \Box p$（对步骤2和3应用假言推理）
5. 重复步骤1-4，证明$\Box(p \land q) \rightarrow \Box q$（用到$(p \land q) \rightarrow q$，同样用自然演绎证明）
6. $\vdash (\Box(p \land q) \rightarrow \Box p) \land (\Box(p \land q) \rightarrow \Box q)$（对步骤4和5应用合取引入）
7. $\vdash \Box(p \land q) \rightarrow (\Box p \land \Box q)$（命题逻辑定理：$(A \rightarrow B) \land (A \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow (B \land C))$，若需要也可通过自然演绎证明）

这种方法完全遵循句法证明规则，并且通过明确证明重言式解决了教授的顾虑。

2. 使用语义证明（基于可能世界语义） #

如果教授接受语义论证（很多教授都会认可，尤其是在意直观性的情况下），你可以先证明该公式在所有K模型中都有效，再利用K的完全性定理得出它是定理。具体过程如下：

• 假设存在一个K模型$\mathcal{M} = \langle W, R, V \rangle$，其中$W$是世界集合，$R$是可达关系，$V$是赋值函数。
• 取任意世界$w \in W$，若$\Box(p \land q)$在$w$处为真，根据$\Box$的定义，所有满足$wRv$的世界$v$中，$V(p \land q, v) = \text{True}$。
• 对每个这样的$v$，$V(p, v) = \text{True}$且$V(q, v) = \text{True}$（根据$\land$的定义）。
• 由于$p$在所有从$w$可达的世界中都为真，$\Box p$在$w$处为真；同理$\Box q$在$w$处为真。
• 因此$\Box p \land \Box q$在$w$处为真。
• 因为$w$是任意的，$\Box(p \land q) \rightarrow (\Box p \land \Box q)$在所有K模型的所有世界中都为真——即它是K的有效公式。
• 根据K的完全性定理，所有有效公式都是定理，因此$\vdash \Box(p \land q) \rightarrow (\Box p \land \Box q)$。

这种方法完全避开了对$(p \land q) \rightarrow p$重言式的句法依赖，转而利用模态算子和命题联结词的语义定义。

两种方法都可行，选一个最符合教授要求的即可！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者john doe