嗨，我完全懂这种对着一堆混乱方程组无从下手的感觉！咱们换个清晰的思路来解这道题，用正弦定理结合三角函数的和差公式就能搞定，步骤很直观：

首先先把已知条件转成正切值，方便后续计算：

• 已知 $\cot(\alpha)=\frac{2}{3}$，所以 $\tan(\alpha)=\frac{3}{2}$
• 已知 $\cot(\beta)=\frac{8}{5}$，所以 $\tan(\beta)=\frac{5}{8}$
• BM是△ABC的中线，所以 $AM=MC$，设这个长度为 $m$，设 $\angle BMC=x$，那么 $\angle AMB=\pi-x$

接下来在两个小三角形里用正弦定理：

1. 在△ABM中，根据内角和为 $\pi$，可得 $\angle ABM = \pi - \alpha - (\pi - x) = x - \alpha$，由正弦定理：
   $$\frac{AB}{\sin(\pi - x)} = \frac{AM}{\sin(\angle ABM)} \implies \frac{AB}{\sin x} = \frac{m}{\sin(x - \alpha)}$$
2. 在△CBM中，根据内角和为 $\pi$，可得 $\angle CBM = \pi - \beta - x$，由正弦定理：
   $$\frac{BC}{\sin x} = \frac{MC}{\sin(\angle CBM)} \implies \frac{BC}{\sin x} = \frac{m}{\sin(\pi - \beta - x)}$$
   因为 $\sin(\pi - \theta)=\sin\theta$，所以上式可简化为：
   $$\frac{BC}{\sin x} = \frac{m}{\sin(x + \beta)}$$

然后回到大△ABC，用正弦定理：
$$\frac{AB}{\sin\beta} = \frac{BC}{\sin\alpha} = \frac{AC}{\sin(\alpha+\beta)}$$
因为 $AC=2m$，所以推导得 $AB=\frac{2m\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$，$BC=\frac{2m\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}$

把AB和BC的表达式代入之前小三角形的正弦定理式子，联立两个等式可得：
$$\sin\beta \cdot \sin(x - \alpha) = \sin\alpha \cdot \sin(x + \beta)$$

接下来展开等式两边的三角函数（用和差公式）：
$$\sin\beta(\sin x \cos\alpha - \cos x \sin\alpha) = \sin\alpha(\sin x \cos\beta + \cos x \sin\beta)$$

把含 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的项分别整理到等式两边：
$$\sin x (\sin\beta \cos\alpha - \sin\alpha \cos\beta) = \cos x (2\sin\alpha \sin\beta)$$

两边同时除以 $\cos x (\sin\beta \cos\alpha - \sin\alpha \cos\beta)$，得到：
$$\tan x = \frac{2\sin\alpha \sin\beta}{\sin\beta \cos\alpha - \sin\alpha \cos\beta}$$

最后把分子分母同时除以 $\cos\alpha \cos\beta$，转换成正切值计算：
$$\tan x = \frac{2\tan\alpha \tan\beta}{\tan\beta - \tan\alpha}$$

代入 $\tan\alpha=\frac{3}{2}$，$\tan\beta=\frac{5}{8}$：
$$\tan x = \frac{2 \times \frac{3}{2} \times \frac{5}{8}}{\frac{5}{8} - \frac{3}{2}} = \frac{\frac{15}{8}}{-\frac{7}{8}} = -\frac{15}{7}$$

因为x是三角形中的内角，正切值取正值，所以最终 $\tan x = \frac{15}{7}$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Emigdio Torales