嘿，我来帮你搞定这个经典证明！其实两种思路都挺直观的，咱们一步步拆解：

一、几何法证明 #

核心思路是利用三角形两边之和大于第三边的基本性质：

• 假设我们有两个固定点A和B，现在画一条非直线的路径连接它们——比如先从A到任意点C，再从C到B，形成△ABC。根据三角形的基本定理，必然有 AC + CB > AB。
• 如果路径是更复杂的折线（比如A→C→D→B），咱们可以逐段应用这个定理：AC + CD > AD，接着AD + DB > AB，所以AC + CD + DB > AB，显然折线长度还是大于直线AB的长度。
• 要是路径是曲线呢？咱们可以用无数个小线段组成的多边形去逼近这条曲线，每个小多边形的周长都大于AB，当小线段的数量无限增加时，曲线的周长就会趋近于多边形的周长，依然大于AB的长度。

综上，任何非直线的路径长度都大于直线AB的长度，所以直线是两点间的最短路径。

二、坐标几何法证明 #

咱们用代数和微积分的思路来推导：

1. 基础代数推导（三角不等式）
   设两点坐标为A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)，取路径上任意一点P(x, y)。根据两点间距离公式：
   AP = √[(x - x₁)² + (y - y₁)²]，PB = √[(x₂ - x)² + (y₂ - y)²]，AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
   根据向量的三角不等式（或者代数上的柯西不等式），可以证明 AP + PB ≥ AB，等号成立的条件是P点落在A、B的直线段上，这就说明只有走直线时距离最短。

2. 微积分极值推导
   如果路径是一条连续曲线y = f(x)，从x₁到x₂，那么曲线的弧长公式为：
   L = ∫(x₁到x₂) √[1 + (f’(x))²] dx
   要找L的最小值，咱们可以用欧拉-拉格朗日方程求解极值：对这个积分式求变分，会得到f''(x) = 0，这意味着f(x)是一次函数，也就是直线。所以这个积分的最小值就是直线AB的长度，再次证明直线是最短路径。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kl kick