我最近碰到个困惑：给定像 $$xy - bx - ay - ab = 0$$ 这样的多元多项式方程，该怎么化简它、理解它的意义，或者说准确表征它的性质呢？我自己摸索了几种方法，过程和疑问如下：

尝试1 #

我把x、y看作变量，a、b当作常数，一眼就能看出这是个二次方程，所以肯定找不到x或y的线性解，但应该能比当前形式更清晰地拆解它。

我试过找根的思路，既然是二次式，理论上应该能写成单项式乘积的形式。查了不少资料，发现多元多项式好像没有通用的因式分解方法，但可以把其中一个变量视为常数，单独处理另一个变量。比如我试着解x时，得到了 $$x = \frac {a(y-b)}{y-b} = a$$（这里要求y≠b），但用同样的方法解y又得到y=b，这就和y≠b的条件矛盾了，越绕越晕。

我本来期望能把方程写成 $$(x-p)(x-r)(y-q)(y-s) = 0$$ 这样的形式，按上面的思路似乎应该是 $$(x - a)(y - b) = 0$$，这个形式对应的解是 $[x = a \land y \neq b] \lor [x \neq a \land y = b]$。

但展开这个式子的话：$$(x - a)(y - b) = xy - bx - ay + ab$$，和原方程对比，明显符号不对，看来这个思路存在问题。

现在我还有个核心疑问：满足这个方程的x、y的轨迹到底是什么？
刚才的过程虽然好像摸到了一种化简方向，但路径混乱又绕，而且没完全弄明白本质。有没有更直接、更系统的方法？或者能不能把这种方法推广到其他多元多项式？单变量多项式我一看就知道该怎么处理，但多元的就完全摸不着头脑了。

我希望大家不要只给我这个题的答案，而是教我通用方法（或者告诉我该看什么资料），这类内容一般是哪门课程里会讲到的？

（注：我搜过不少数学论坛的相关帖子，但都没帮到我）

尝试2 #

有评论指出我刚才的计算出错了，重新推导后应该是：
$$x = a \frac {y+b}{y-b}, \quad y \neq b \
y = b \frac {x+a}{x-a}, \quad x \neq a$$
我试着把y的表达式代入x的式子，得到：
$$x = a \left ( \frac {1 + \frac{x+a}{x-a}} {-1 + \frac{x+a}{x-a}} \right )$$
结果越算越乱，完全不知道该往下怎么走了！

更新：重新梳理思路 #

我决定彻底从头开始：$$xy−bx−ay−ab=0$$
刚才试着单独解x或y的路子明显走不通，得到的结果一团糟，看来不是所有多元多项式方程都能直接解出单个变量的！那换个思路：

这是个二元二次多项式，对应的曲线要么是圆锥曲线，要么是退化的圆锥曲线，这类曲线通常不用x=...或者y=...的形式来表征，而是像 $$(\frac x p - h)^2...$$ 这样的标准形式会更清晰。

那怎么把原方程转化成这样呢？我试着用类似配方法的思路来因式分解（至少先处理高次项）：因为原方程有xy项，所以因式分解后的形式应该是 $$(x - p)(y - q) = r$$ 这样的。展开这个式子的话，x的一次项系数是-q，原方程里x的一次项系数是-b，所以q应该等于b；同理，y的一次项系数是-p，原方程里y的一次项系数是-a，所以p等于a，这样就得到 $$(x-a)(y-b) = r$$。

现在把这个式子展开：$$(x-a)(y-b) = xy -bx -ay + ab$$，和原方程 $$xy−bx−ay−ab=0$$ 对比，左边展开后比原方程多了+2ab，所以原方程可以整理成 $$(x-a)(y-b) = 2ab$$。

根据圆锥曲线的知识，这是一个中心在(a, b)的双曲线，2ab可以看作是它的“缩放因子”（我不知道这个的专业术语是什么）。到这里总算把这个方程的本质弄明白了！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SRobertJames