嘿，这个问题问到点子上了，咱们从已知的基础结论开始，一步步聊清楚：

首先先铺垫个经典入门结论：对于光滑流形（必要时可限定为紧流形）$M$和$M'$，任何连续映射 $f:M\rightarrow M'$ 都能被光滑映射任意逼近——这是光滑流形拓扑里的基础结果，也是咱们讨论的起点。

现在核心问题来了：如果$f$本身是个同胚，那什么时候它能被微分同胚逼近？如果$M$和$M'$是李群的话，情况又有啥不一样？

一般光滑流形的情况 #

这个问题本质上和流形的光滑结构紧密绑定：

• 首先得明确：如果$M$和$M'$是同胚但不微分同胚的（比如大名鼎鼎的米尔诺怪球，它和标准7维球同胚，但不存在微分同胚映射），那它们之间的同胚肯定没法被微分同胚逼近——毕竟连微分同胚都不存在，更别说用它来逼近了。
• 反过来，如果$M$和$M'$本身是微分同胚的，那大多数常见流形上，所有同胚都能被微分同胚逼近。比如你提到的例子：所有曲面之间的同胚都能被同痕（isotoped）到微分同胚——这是曲面拓扑里的经典结论，简单说就是闭曲面的光滑结构由拓扑唯一确定，任意同胚都能通过连续变形转化为微分同胚。

李群的特殊情况 #

李群是带群结构的光滑流形，这里的情况会更有特殊性：

• 李群有个关键性质：李群之间的连续群同态一定是光滑的。也就是说，如果$f:G\rightarrow G'$是李群之间的连续群同构（既是同胚又是群同构），那它本身就是光滑的，自然就是微分同胚（因为逆映射也是连续群同态，所以同样光滑）。
• 如果只是李群之间的同胚（不一定保持群结构），那可以回到一般流形的讨论框架，但李群作为特殊流形，紧李群的光滑结构是由拓扑唯一确定的——所以紧李群之间的任意同胚，都能被微分同胚逼近。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1040289