寻找满足局部紧、紧集闭、开集σ-紧的非Hausdorff拓扑空间

咱们来探讨这个问题：有没有一个拓扑空间$(X, \tau)$能同时满足以下四个条件？

• 局部紧：每个点$x \in X$都有一个紧邻域
• 所有紧集都是闭集
• 每个开集$\mathcal{U} \in \tau$都是σ-紧的，即可以表示为至多可数个紧集的并
• 非Hausdorff空间

先排除有限空间的可能性——有限空间里所有子集都是紧集，根据第二个条件，所有子集都得是闭集，这直接就变成离散拓扑了，而离散拓扑是Hausdorff的，不符合第四个条件。

再看看不可数集上的余可数拓扑：它满足第二个和第四个条件，但第一个和第三个条件都不成立。拿第三个条件来说，余可数拓扑里只有有限集是紧集，要把整个不可数的$X$（它本身是开集）表示成可数个紧集的并根本做不到，因为可数个有限集的并还是可数集，没法覆盖不可数的$X$；第一个条件也不满足，因为每个点的邻域都是余可数集，这种集合在余可数拓扑里不是紧的。

那到底有没有符合所有四个条件的拓扑空间呢？有没有大佬有思路？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Linear Christmas