原问题 #

求函数$f(x)=\left|x-1\right| + \left|2x-1\right| + \left|3x-1\right| + \cdots + \left|119x - 1 \right|$的最小值。

待理解的解答片段 #

"If we graph each term separately, we will notice that all of the zeros occur at $\frac{1}{m}$, where $m$ is any integer from $1$ to $119$, inclusive: $|mx-1|=0\implies mx=1\implies x=\frac{1}{m}$.

The minimum value of $f(x)$ occurs where the absolute value of the sum of the slopes is at a minimum $\ge 0$, since it is easy to see that the value will be increasing on either side. That means the minimum must happen at some $\frac{1}{m}$."

用户疑问 #

这段解答的解释清晰吗？我不太理解，能不能有人把它拆解得更明白一些？

拆解解释 #

我来帮你一步步拆解这段内容，把每个关键点讲透：

1. 为什么每个绝对值项的零点是$\frac{1}{m}$？ #

对于任意一项$|mx - 1|$（$m$取1到119的整数），绝对值等于0的条件是里面的表达式为0，也就是：
$$mx - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{m}$$
举个例子：$m=1$时，零点是$x=1$；$m=2$时，零点是$x=\frac{1}{2}$；$m=119$时，零点是$x=\frac{1}{119}$。这些零点把x轴划分成了很多连续区间，在每个区间内，每个绝对值项的表达式要么恒正、要么恒负，所以可以去掉绝对值符号写成普通的线性函数。

2. 为什么要关注斜率的总和？ #

每个绝对值项$|mx - 1|$本质是分段线性函数：

• 当$x > \frac{1}{m}$时，$|mx - 1| = mx - 1$，这一段的斜率是$m$；
• 当$x < \frac{1}{m}$时，$|mx - 1| = 1 - mx$，这一段的斜率是$-m$；
• 在$x = \frac{1}{m}$这个点上，斜率会发生突变（从$-m$直接跳到$m$）。

整个$f(x)$是所有这些分段线性函数的和，所以$f(x)$本身也是分段线性函数，它的斜率就是所有分项斜率的总和。

3. 为什么最小值一定出现在某个$\frac{1}{m}$处？ #

• 当$x$非常小的时候（比如远小于$\frac{1}{119}$），所有绝对值项的表达式都是$1 - mx$，此时$f(x)$的斜率是所有$-m$的总和，也就是$-(1+2+3+\dots+119)$，这是一个绝对值很大的负数——说明在这个区间里，$f(x)$会随着$x$的增大而持续减小。
• 当$x$逐渐增大，每经过一个零点$\frac{1}{m}$，对应的那个分项的斜率就从$-m$变成$m$，相当于斜率总和直接增加了$2m$（因为$m - (-m) = 2m$）。
• 随着$x$不断增大，斜率总和会从负数慢慢向正数转变。当斜率总和刚好从负变正的那一刻，$f(x)$就停止减小，开始增大——这个转折点就是$f(x)$的最小值点。
• 而斜率发生突变的点，正好就是每个绝对值项的零点$\frac{1}{m}$，只有在这些点上，分项的斜率才会发生变化。所以$f(x)$的最小值必然出现在某个$\frac{1}{m}$处。

打个通俗的比方：这就像你在下山，走到某个位置后开始上山，这个转折点就是你能到达的最低点，而这个点刚好是某个绝对值项的零点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Carm