大家好，我遇到了这么一个不等式证明题，想请教下各位的思路：

已知 (x,y,z\ge 0) 且满足 (xy+yz+zx=3)，需要证明：
$$\frac{1}{\sqrt{3x+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y+1}}+\frac{1}{\sqrt{3z+1}}\ge \frac{3}{2}.$$

我自己尝试用AM-GM不等式来处理，还提出了一个更强的结论——我验证过看起来是成立的：
$$\sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1}+\sqrt{3z+1}\ge \frac{3}{4}\sqrt{(3x+1)(3y+1)(3z+1)}.$$

不过我尝试对这个更强的不等式两边平方后，后面的推导就变得特别复杂，卡在这里了。希望能看到更多不同的解题思路，谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tran Ngoc Khuong Trang