嘿，我最近研究Ito随机微分方程的时候碰到了个困惑，想请教下各位大佬：

假设我们有如下Ito随机微分方程（SDE）：
$$dX_t = f(X_t,t) dt + g(X_t,t) dW_t$$
其中$X_t, f(X_t,t) \in \mathbb R^n$，$W_t \in \mathbb R^m$，$g(X_t,t) \in \mathbb R^{n\times m}$。

现在遇到的情况是噪声维度m大于状态变量维度n，直觉上这里面应该存在某种冗余。我一直在琢磨，能不能把这个SDE转换成噪声维度刚好是n、扩散项$\tilde{g}$为$n\times n$维度的形式呢？

我自己大概摸出了个思路方向：先定义一个替代的SDE，比如
$$dX_t = f(X_t,t)dt + \tilde g(X_t,t) d\tilde W_t$$
这里$\tilde W_t \in \mathbb R^n$，然后只需要证明$\tilde g(X_t,t) d\tilde W_t = g(X_t,t) d W_t$，也就是对应的伊藤积分满足
$$\int_0^T \tilde g(X_t,t) d\tilde W_t = \int_0^T g(X_t,t) d W_t$$
但具体该怎么实现这个转换、怎么完成证明呢？实在没头绪，希望大家能给点指点！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者klirk