这确实是频率域分析电路时经常碰到的头疼问题——同周期函数乘积的傅里叶系数是卷积，这个咱们都熟，但碰到周期不一样的情况，直接套公式肯定不行，得换个思路拆解。

首先得明确一个前提：只有当两个周期的比值$T_f/T_g$是有理数时，它们的乘积$h(t)=f(t)g(t)$才是周期函数，才有傅里叶级数。如果比值是无理数，$h(t)$是非周期的，这时候就得用傅里叶变换来处理，而不是级数了。

假设$T_f/T_g$是有理数，那咱们先找到两个周期的最小公倍数$T_h = \text{LCM}(T_f, T_g)$，这就是$h(t)$的周期。设$T_h = k T_f = l T_g$，这里$k$和$l$都是正整数（比如$T_f=2$，$T_g=3$，那$T_h=6$，$k=3$，$l=2$）。

接下来，把$f(t)$和$g(t)$的傅里叶级数都转换成以$T_h$为周期的形式，这样就能统一基频了：

• $f(t)$原来的基频是$\omega_f=2\pi/T_f$，转换成$T_h$的基频$\omega_h=2\pi/T_h$的话，$\omega_f = k \omega_h$，所以$f(t)$的级数可以写成：
  $$f(t) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{i n k \omega_h t}$$
  换句话说，在$T_h$的傅里叶级数里，$f(t)$只有$k$的整数倍次谐波有系数$F_n$，其他次数的系数都是0。
• 同理，$g(t)$的基频$\omega_g=2\pi/T_g = l \omega_h$，级数可以改写为：
  $$g(t) \sim \sum_{m=-\infty}^{\infty} G_m e^{i m l \omega_h t}$$
  同样，只有$l$的整数倍次谐波有系数$G_m$，其余为0。

现在计算$h(t)$的傅里叶系数$H_p$（对应$p$次谐波$e^{i p \omega_h t}$的系数），本质上就是把两个级数相乘后，收集所有能凑出$p$次谐波的项的系数之和。也就是说，咱们需要找到所有整数对$(n,m)$满足：
$$n k + m l = p$$
然后把这些$(n,m)$对应的$F_n G_m$加起来，就是$H_p$：
$$H_p = \sum_{\substack{n,m \in \mathbb{Z} \ n k + m l = p}} F_n G_m$$

举个实际例子帮你理解 #

比如$T_f=2$，$T_g=3$，那么$T_h=6$，$k=3$，$l=2$。要算$H_1$（1次谐波的系数），就得找所有满足$3n + 2m = 1$的整数对：

• $n=1, m=-1$：$31 + 2(-1)=1$，对应项是$F_1 G_{-1}$
• $n=-1, m=2$：$3*(-1) + 2*2=1$，对应项是$F_{-1} G_2$
• $n=3, m=-4$：$33 + 2(-4)=1$，对应项是$F_3 G_{-4}$
• ... 以此类推，把这些项全部加起来就是$H_1$。

你提到“不想每次解方程”，其实遗憾的是，没有通用的闭合形式公式能完全避开这一步——因为这取决于两个周期的具体比值。不过如果周期比值比较简单（比如整数倍），这个求和会简化很多：比如$T_g=2T_f$，那$k=2$，$l=1$，此时$H_p = \sum_{n} F_n G_{p-2n}$，也就是只需要对$n$求和即可。

最后再强调一下：如果$T_f/T_g$是无理数，$h(t)$是非周期的，这时候不存在傅里叶级数，只能用傅里叶变换来计算它的频谱，频谱是两个函数傅里叶变换的卷积。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Amin Gholizad