各位好，我现在在做一个分析题，遇到了瓶颈，想请教下大家：

设 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 是在闭区间 $[0,1]$ 上连续的函数，需要证明：
$$ \lim_{p \to +\infty} \left( \int_{0}^{1} |f|^{p} \right)^{\frac{1}{p}}=\max_{x\in[0,1]}|f(x)| $$

我已经完成了一部分推导，先把目前的进展放出来：

• 首先证明了不等式的上界部分：
  因为对任意 $x\in[0,1]$，都有 $|f(x)| \leq \max_{x\in[0,1]}|f(x)|$，所以两边p次方后积分再开p次根，就有：
  $$ \left( \int_{0}^{1} |f|^{p} \right)^{\frac{1}{p}}\le \left( \int_{0}^{1} \left(\max|f|\right)^{p} \right)^{\frac{1}{p}}=\max|f| $$
  这里利用了f在闭区间连续的性质，根据魏尔斯特拉斯极值定理，$\max|f|$ 是一个有限实数，这一步应该是没问题的。

• 另外我还想到了一个和向量范数相关的角度：
  对于每个 $x\in[0,1]$，把 $(f(x),0)$ 看作 $\mathbb{R}^2$ 中的向量，那么显然有：
  $$ |f(x)|^{p}=\left( \left| (f(x), 0) \right|{p} \right)^{p} $$
  而且存在正的常数c、C，使得：
  $$ c \cdot \max(|f(x)|, 0)^{p}\le \left( \left| (f(x), 0) \right|{p} \right)^{p}\le C\cdot \max(|f(x)|, 0)^{p} $$

现在我想从下方来估计这个极限，本来打算用Holder不等式或者Minkowski不等式，但试了几次都没找到正确的打开方式，有没有大佬能指点一下后续该怎么推进？或者有没有其他更合适的方法？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者iki