我现在在物理数学课上卡壳了——刚学完高斯定律，老师布置了一道计算四面体通量的题，我虽然凑出了结果，但对背后的原理完全摸不着头脑，想请教大家：

问题描述 #

给定向量场：
$$\vec{A}: \mathbb{R}^3 \space \rightarrow \space \mathbb{R}^3 \space , \space \vec{A}(x,y,z):=(x-2z, 3z-4x, 5x+y)$$
需要计算它通过顶点为${(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$的四面体表面的通量。

我知道根据高斯定律，四面体包围的空间$T$和它的表面$(T)$满足：
$$ \int_{T} \vec{\nabla} \cdot \vec{A} \space dV = \int_{(T)} \vec{A} \cdot d\vec{F} $$

我的尝试 #

我想着把曲面积拆分到四面体的四个三角面上分别计算，这就需要给每个$\mathbb{R}^3$里的三角面做参数化。但课上没教这个，笔记里也找不到相关内容，我查了好多资料才凑出一套方法，虽然算出了通量，但原理完全没搞懂：

三角面的参数化思路 #

假设三角形的三个顶点是$B,C,D$，取向量$\vec{v_1} = C - B$，$\vec{v_2} = D - B$，那么这个三角面的参数化可以写成：
$$ \Phi(\alpha,\beta) = B + \alpha \vec{v_1} + \beta \vec{v_2} \quad \text{其中 $\alpha \in [0,1]$，$\beta \in [0, 1-\alpha]$} $$
（注：我之前写的$\Phi(x,y,z)$是笔误，参数其实是$\alpha$和$\beta$）

然后资料里说曲面的法向量是$\vec{v_1} \times \vec{v_2}$，微分面元$dF = || \vec{v_1} \times \vec{v_2} || \space d\alpha \space d\beta$，所以这个三角面$S$的曲面积分就是：
$$ \int_{S} \vec{A} \cdot d\vec{F} = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-\alpha} \vec{A}(\Phi (\alpha,\beta)) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) \space d\alpha \space d\beta $$
（这里其实是点乘单位法向量再乘面元大小，等价于直接点乘叉乘向量）

我的核心困惑 #

1. 我完全搞不懂为什么$dF = || \vec{v_1} \times \vec{v_2} || \space d\alpha \space d\beta$？这个叉乘的模长是怎么来的？为什么它就是参数$\alpha,\beta$对应的微分面元的系数？
2. 平时做参数化积分的时候，我都是用参数化函数的雅可比行列式来求这个系数的，但我搞不懂怎么把这个三角面的参数化$\Phi$和雅可比矩阵联系起来。比如拿顶点为$(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$的三角面来说，我得到的参数化是：
   $$ \Phi(\alpha,\beta) = (\alpha, \beta, 1 - \alpha - \beta) $$
   雅可比矩阵定义是$J_{\Phi} = \left( \frac{\partial}{\partial x_j} \Phi_i \right) _{i,j}$，但我的$\Phi$是关于$\alpha$和$\beta$的二元函数，我不知道怎么套用这个定义，叉乘和雅可比行列式之间是不是有什么关联？
3. 有没有更简单的方法来解决这个通量问题？我感觉现在拆分四个面分别计算的方法太繁琐了，有没有更高效的思路？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者PhyAC