嘿，你的求解思路整体是正确的，咱们来一步步拆解验证细节，同时聊聊可以优化的地方：

你的求解正确性验证 #

• 核心转化逻辑没问题：从$i^x=2$两边取自然对数得到$x\ln(i)=\ln(2)$，这个步骤在复数域内是成立的（只要明确复数对数的多值性）。
• $\ln(i)$的推导正确：你对欧拉公式的应用、三角函数周期性的记忆都没错——$\cos\theta$和$\sin\theta$确实以$2\pi$为周期，因此$i=\sqrt{-1}=e^{i(\pi/2 + \pi k)}$（$k\in\mathbb{Z}$），进而$\ln(i)=i(\pi/2 + \pi k)$，这部分完全正确。
• 解的化简与验证有效：你得到的初始解$x=\frac{2\ln(2)}{i\pi+2i\pi k}$，最后整理为$x=\frac{-2i\ln(2)}{\pi+2\pi k}$是对的（分子分母同乘$-i$即可完成化简，利用$i^2=-1$的性质）。后续代入原式的验证步骤逻辑通顺，能推回等式成立，说明解的有效性。
• 复数对数多值性的考虑到位：你标注了$k\in\mathbb{Z}$，这一点非常关键——因为复数对数是多值函数，所以方程的解有无穷多个，这部分你没遗漏。

可以优化的求解步骤 #

其实可以直接利用复数指数形式的相等性来简化流程，避免分数运算：

1. 先把$i$写成标准指数形式：$i=\sqrt{-1}=e^{i(\pi/2 + \pi k)}$（$k\in\mathbb{Z}$，这里利用$-1=e^{i(\pi+2\pi k)}$开根号得到）
2. 代入原方程：$i^x=(e{i(\pi/2 + \pi k)})^x=e{ix(\pi/2 + \pi k)}$
3. 右边的$2$是正实数，其复数指数形式为$e^{{\ln2}$（若考虑多值性，可写成$e}{\ln2 + 2\pi i m}$，但$m$可合并到$k$的整数取值中）
4. 复数指数相等时，指数部分的实部相等，虚部相差$2\pi$的整数倍（这里右边虚部为0，直接等式成立）：
   $$ix(\pi/2 + \pi k)=\ln2$$
5. 直接解出$x$，同时利用$1/i=-i$化简：
   $$x=\frac{\ln2}{i(\pi/2 + \pi k)}=\frac{2\ln2}{i\pi(1+2k)}=\frac{-2i\ln2}{\pi(1+2k)}=\frac{-2i\ln2}{\pi+2\pi k}$$
   这样一步到位得到你整理后的简洁形式，比先算分数再化简更直接。

关于推广到$i^x=z$的结论 #

你给出的$x=\frac{-2i\ln(z)}{\pi+2\pi k}$是正确的，只要注意这里的$\ln(z)$是复数对数的任意分支即可，保持整个推导中对数分支的一致性就没问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者CrSb0001