嘿，这个问题问得特别有意思！其实数学领域里还真有不少这类案例——我们能严格证明某个级数或函数序列是收敛的，但就是没法确定它到底收敛到哪个具体值，甚至有些情况可以证明这个收敛值在现有数学公理系统中是不可能被证明等于任何已知常数或表达式的。

下面给你举几个典型的例子：

• 与停机问题绑定的构造性级数
  我们可以基于图灵机的停机问题构造一个级数：先枚举所有可能的图灵机程序，给每个程序分配唯一的正整数索引 ( n )，然后定义级数：
  [
  S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \cdot \chi(n)
  ]
  这里的 ( \chi(n) ) 是指示函数：如果第 ( n ) 个图灵机在空输入下会停机，( \chi(n)=1 )，否则 ( \chi(n)=0 )。

  首先，这个级数的收敛性是板上钉钉的——每一项都是非负的，而且被收敛的几何级数 ( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = 1 ) 完全控制，用比较判别法就能直接证明收敛。但问题在于，停机问题是不可判定的：不存在能判断任意图灵机是否停机的通用算法，这意味着我们不可能确定每一项的 ( \chi(n) ) 值，自然也就没法算出 ( S ) 的具体值。更关键的是，从逻辑层面来说，我们没法在标准数学公理系统（比如ZFC）中证明 ( S ) 等于任何可定义的具体实数。

• 黎曼ζ函数的特殊值（半已知案例）
  黎曼ζ函数 ( \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} ) 对 ( \text{Re}(s) > 1 ) 是收敛的。比如 ( s=3 ) 对应的阿培里常数 ( \zeta(3) )，我们已经能计算它到小数点后几十万亿位，但至今都没法证明它是无理数，更别说找到一个能直接表示它的闭合表达式了。不过这个案例属于“我们还没找到证明”，而非“逻辑上不可能证明”，和上面停机问题的例子有本质区别。

• 与丢番图方程挂钩的级数
  还有一个例子是基于丢番图方程的可解性：枚举所有丢番图方程，给每个方程分配索引 ( k )，定义级数：
  [
  T = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{10^k} \cdot \psi(k)
  ]
  其中 ( \psi(k)=1 ) 如果第 ( k ) 个丢番图方程有整数解，否则 ( \psi(k)=0 )。

  根据马蒂亚谢维奇定理，丢番图方程的可解性是不可判定的，所以这个级数的收敛值 ( T ) 同样是我们无法确定的，甚至在ZFC公理系统中都没法证明它等于某个具体的数。

简单来说，这类“收敛但值不可知”的例子，核心都是把不可判定的逻辑问题转化成了收敛级数的构造——因为这些底层问题本身就没有能在现有公理系统中被证明的答案，对应的级数收敛值自然也就成了“不可触碰”的未知。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者pseudobulbose