我目前在研究代数曲面上的向量丛，研究过程中遇到了一个丢番图方程，需要确认它是否总有整数解。这个方程如下：

$$\left(2+\frac{c}{(c,d)}m\right)x+\left(4-\frac{d}{(c,d)}m\right)y=1,$$

其中：

• $c,d\geq 0$ 是固定的非负整数
• $(c,d)$ 表示 $c$ 和 $d$ 的最大公约数
• $m\in\mathbb{Z}$ 是可变的整数（不固定）

我已经知道，这个方程有解（此时会有无穷多解）的充要条件是：
$$\gcd\left(2+\frac{c}{(c,d)}m, 4-\frac{d}{(c,d)}m\right) \mid 1 \iff \gcd\left(2+\frac{c}{(c,d)}m, 4-\frac{d}{(c,d)}m\right)=1$$

我针对 $c$ 和 $d$ 的具体取值做了很多案例分析——不管它们互质与否，每次都能找到一个整数 $m$，使得上述两个表达式的最大公约数为1。这让我开始思考：是否对于任意固定的非负整数 $c,d$，这样的整数 $m$ 都一定存在？

有没有人能给我一些思路来着手解决这个问题？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Fernando Mauricio Rivera Vega