你的直觉其实非常准确——我们得先把“向量的存在”和“向量的坐标表示”这两个概念区分开，这也是很多线性代数初学者容易混淆的关键点。

首先明确核心结论：向量作为向量空间中的元素，其存在本身完全不依赖于基。基只是我们用来描述、计算、沟通向量的工具，并非向量的“组成部分”。

针对你举的例子具体展开：

• 对于$\mathbb{R}^2$的标准基$\beta = {\langle 1, 0 \rangle, \langle 0, 1 \rangle}$，其中的$\langle 1,0\rangle$本身就是$\mathbb{R}^2$这个向量空间里的一个固有元素，它的存在不需要任何基来定义。我们说它“在基$\beta$下的坐标是$(1,0)$”，只是给它赋予了一组便于计算的数值表示，但这个向量本身和基毫无绑定关系。哪怕我们换一个基，比如${\langle 1,1\rangle, \langle 1,-1\rangle}$，$\langle 1,0\rangle$还是那个向量，只是对应的坐标会变成$(0.5, 0.5)$而已。
• 再看矩阵空间$M_{2 \times 2}(\mathbb{F})$里的矩阵$m$：这个矩阵本身就是该向量空间的合法元素（矩阵空间完全满足向量空间的所有公理），它的“原始”矩阵形式就是它作为向量的本征状态。当我们给矩阵空间选定一个基（比如由单个位置为1的矩阵组成的标准基），可以把$m$转换成一个4维的坐标向量，但这只是一种表示方式，$m$作为矩阵的存在根本不需要依赖这个基。

那你的教授说“没有无基的向量”，可能是在强调另一个层面：当我们用具体的数值坐标来描述向量时，必须依赖基——因为坐标的定义就是向量在基向量上的线性组合系数。但这和“向量本身是否需要基才能存在”是完全不同的两回事。

简单总结：向量是抽象空间的固有元素，独立存在；基是用来给向量做“数值翻译”的工具，没有基我们没法用坐标表示向量，但向量本身依然真实存在。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user129393192