最近我研究了由第一类、第二类完全椭圆积分构造的函数 ( R(k) )，整理出了一系列积分结果，想请教社区里的各位专家：

首先给出 ( R(k) ) 的定义：
$$R(k)=\left(-\frac{K(k)^{2}{k}+K(k)E(k)\left(\frac{1}{k}-\frac{k}{2(k}2-1)}\right)\right)$$
其中 ( K(k) ) 和 ( E(k) ) 分别是第一类、第二类完全椭圆积分。

我得到了以下几个具体的积分求值结果：

• 式(1)：
  $$\int_{0}^{{1/\sqrt{2}}R(k)dk=\frac{3\Gamma{(1/4)}}4}{128\pi}-\frac{\pi^2}{8}$$
• 式(2)：
  $$\int_{0}^{2{5/4}(\sqrt{2}-1)}R(k)dk=\frac{3\Gamma{(1/4)}^{4}{64\pi}-\frac{\pi}2}{8}$$
• 式(3)：
  $$\int_{0}^{{\sqrt{2}-1}R(k)dk=\frac{\Gamma(1/8)}2\Gamma(3/8)^2\left(\frac{3\sqrt{2}}{512}+\frac{1}{256} \right)}{\pi}-\frac{\pi^2}{8}$$
• 式(4)：
  $$\int_{0}^{{\sqrt{2\sqrt{2}-2}}R(k)dk=\frac{\Gamma(1/8)}2\Gamma(3/8)^{2}{64\pi}-\frac{\pi}2}{8}$$

这些具体积分都是以下两个通用公式的特例：

通用积分公式 #

• 式(5)：
  $$\int_{0}^{{l}R(k)dk=\frac{K(l)}2(2-l^{2)}{4}-\frac{\pi}2}{8}$$
• 式(6)：
  $$\int_{0}^{{\frac{2\sqrt{l}}{1+l}}R(k)dk=\frac{K(l)}2(1+l^{2)}{2}-\frac{\pi}2}{8}$$

待探讨的问题 #

1. 这些积分结果（包括具体特例和通用公式）是否已经是数学领域内的已知结论？
2. 我们能否利用克劳森变换（Clausen's transformation）对这些结果进行优化，进而推导出相关的级数展开式？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者User-Refolio