使用Z变换求解二阶线性递推关系时的部分分式分解疑问

阿华AIGC实验室

2026-4-22

Z变换求解二阶线性递推关系时的部分分式分解疑问

嗨，我来帮你拆解这个问题的关键步骤——从Z变换的应用到分式化简的细节，一步步梳理，你就能明白其中的逻辑了。

首先，我们先把整个Z变换的求解流程走一遍，这样你能看到那个关键分式是怎么来的，再聚焦到化简部分：

第一步：对递推式两边做Z变换

先回忆Z变换的移位性质，这是把递推式转化为代数方程的核心：

$Z[y_{n+1}] = zY(z) - zy_0$
$Z[y_{n+2}] = z^2Y(z) - z^2y_0 - zy_1$
常数1的Z变换是 $\frac{z}{z-1}$（因为$Z[1] = \sum_{n=0}^\infty 1 \cdot z^{-n} = \frac{z}{z-1}$，收敛域$|z|>1$）

现在把递推式 $y_{n+2} - 3y_{n+1} + 3y_n = 1$ 两边做Z变换，代入初始条件$y_0=1, y_1=0$：
$$
(z^2Y(z) - z^2 \cdot 1 - z \cdot 0) - 3(zY(z) - z \cdot 1) + 3Y(z) = \frac{z}{z-1}
$$

整理左边的$Y(z)$项：
$$
z^2Y(z) - z^2 - 3zY(z) + 3z + 3Y(z) = \frac{z}{z-1}
$$
把含$Y(z)$的项提出来：
$$
Y(z)(z^2 - 3z + 3) - z^2 + 3z = \frac{z}{z-1}
$$

把常数项移到右边并通分合并：
$$
Y(z)(z^2 - 3z + 3) = \frac{z + (z^2 - 3z)(z-1)}{z-1} = \frac{z^3 -4z^2 +4z}{z-1} = \frac{z(z-2)^2}{z-1}
$$

最终得到$Y(z)$的表达式：
$$
Y(z) = \frac{z(z-2)^2}{(z-1)(z2 -3z +3)}
$$

第二步：关键的分式化简（部分分式分解）

现在要把这个复杂分式拆成简单形式，方便做逆Z变换。这里用到的是部分分式分解，同时结合了Z变换里的常用技巧：先分解$\frac{Y(z)}{z}$，再乘z还原（因为逆变换中很多基础形式都是$\frac{z}{z-a}$这类结构）。

先计算$\frac{Y(z)}{z}$：
$$
\frac{Y(z)}{z} = \frac{(z-2)^2}{(z-1)(z2 -3z +3)}
$$

我们设这个分式可以拆成：
$$
\frac{(z-2)^2}{(z-1)(z2 -3z +3)} = \frac{A}{z-1} + \frac{Bz + C}{z^2 -3z +3}
$$

接下来求系数A、B、C：

两边同乘$(z-1)(z^2 -3z +3)$，消去分母：
$$
(z-2)^2 = A(z^2 -3z +3) + (Bz + C)(z-1)
$$
代入$z=1$，右边只剩下A的项，直接算出A：
$$
(1-2)^2 = A(1 -3 +3) \implies 1 = A \cdot 1 \implies A=1
$$
把A=1代入等式，展开右边并合并同类项：
$$
z^2 -4z +4 = (z^2 -3z +3) + Bz^2 -Bz + Cz - C
$$
$$
z^2 -4z +4 = (1+B)z^2 + (-3 -B + C)z + (3 - C)
$$
对应系数相等列方程求解：

z²项：$1 = 1+B \implies B=0$
z项：$-4 = -3 -0 + C \implies C = -1$
常数项：$4 = 3 - (-1) \implies 4=4$，验证成立

所以$\frac{Y(z)}{z}$的分解式是：
$$
\frac{1}{z-1} + \frac{-1}{z^2 -3z +3}
$$

两边乘z还原得到$Y(z)$：
$$
Y(z) = \frac{z}{z-1} - \frac{z}{z^2 -3z +3}
$$

第三步：补充逆Z变换的逻辑（帮你理解分解的意义）

分解后的形式刚好匹配我们熟悉的逆Z变换公式：

第一项$\frac{z}{z-1}$的逆Z变换是$1$（因为$Z[1]=\frac{z}{z-1}$）
第二项的分母是二次复根，我们可以通过配方转化为三角函数形式的逆变换：
把$z^2 -3z +3$配方为$(z - \frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2$，对应$r=\sqrt{3}$，$\theta=\frac{\pi}{6}$，最终逆变换是$2(\sqrt{3})}n \sin((n+1)\frac{\pi}{6})$

回到你的核心疑问：这个分式化简用的是部分分式分解，同时结合了Z变换中“先分解$\frac{Y(z)}{z}$再还原”的常用技巧，这样分解后的形式能直接匹配已知的逆Z变换公式，大大降低求解难度。

总结关键步骤：