嘿，我来帮你拆解这个留数计算的核心问题——这确实是黎曼素数计数公式推导里最关键的一步，咱们一步步把逻辑理清楚：

首先，先明确我们要处理的函数是 $f(s) = \frac{\log \zeta(s)}{s} x^s$，你的目标是证明：ζ函数的零点/极点处的围道贡献对应 $Li(x^s)$（符号需要注意，展开式里的负号来自对数分支的方向）。

第一步：回顾ζ函数的奇点结构 #

黎曼ζ函数的奇点只有：

• 唯一的一阶极点：$s=1$
• 非平凡零点：$\rho$（位于临界带 $0 < \text{Re}(s) < 1$，假设都是简单零点，这是黎曼假设的一部分，且目前未发现反例）
• 平凡零点：$s=-2, -4, -6, \dots$（都是一阶零点）
• $s=0$：ζ(0) = -1/2，是正则点，但你的积分里它的贡献来自 $1/s$ 项的留数，你已经算对了，对应 $-\log 2$。

第二步：利用ζ函数的无穷乘积展开（关键！） #

要把 $\log \zeta(s)$ 拆成和零点、极点相关的项，我们用ζ函数的Weierstrass无穷乘积展开：
$$
\zeta(s) = \frac{e^{-\gamma s}}{s-1} \prod_{\rho} \left(1 - \frac{s}{\rho}\right) e^{s/\rho} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{s}{2n}\right) e^{-s/(2n)}
$$
取主值对数后，我们得到：
$$
\log \zeta(s) = -\gamma s - \log(s-1) + \sum_{\rho} \left[\log\left(1 - \frac{s}{\rho}\right) + \frac{s}{\rho}\right] + \sum_{n=1}^\infty \left[\log\left(1 + \frac{s}{2n}\right) - \frac{s}{2n}\right]
$$
把这个代入你的积分 $\Pi(x) = \frac{1}{2\pi i} \int_{a-i\infty}^{a+i\infty} f(s) ds$，我们可以逐项分析积分贡献：

第三步：逐项计算积分贡献（对应留数/围道分支变化） #

1. 极点 $s=1$ 的贡献

对应 $\log \zeta(s)$ 里的 $-\log(s-1)$ 项，积分变为：
$$
-\frac{1}{2\pi i} \int_{a-i\infty}^{a+i\infty} \frac{\log(s-1)}{s} x^s ds
$$
通过变量替换 $u = s-1$，结合对数积分的定义 $Li(x) = \int_0^x \frac{dt}{\log t}$，可以证明这个积分的结果是 $Li(x)$——这就是展开式里的第一项。

2. 非平凡零点 $\rho$ 的贡献

对应每个零点的 $\log\left(1 - \frac{s}{\rho}\right)$ 项（后面的 $\frac{s}{\rho}$ 项积分后为0，因为 $\int_{a-i\infty}^{a+i\infty} x^s ds = 0$ 当 $x>1$）。把 $\log\left(1 - \frac{s}{\rho}\right)$ 改写为 $\log(\rho - s) - \log \rho$，积分后 $\log \rho$ 项的积分也为0，剩下的项通过变量替换 $u = \rho - s$，结合对数积分的定义，可以得到每个零点 $\rho$ 的贡献是 $-Li(x^\rho)$——这就是展开式里的 $-\sum_\rho Li(x^\rho)$ 项。

这里要注意：$\rho$ 是对数奇点，不是极点，所以严格来说不是“留数”，而是围道绕过时对数分支变化带来的贡献（绕零点一周，$\log \zeta(s)$ 的辐角增加 $2\pi i$，对应积分贡献 $2\pi i \cdot \frac{1}{2\pi i} Li(x^\rho) = Li(x^\rho)$，但因为我们是向左闭合围道，符号为负）。

3. 平凡零点 $s=-2n$ 的贡献

类似非平凡零点的分析，每个平凡零点的贡献是 $-Li(x^{-2n})$，把这些项求和：
$$
-\sum_{n=1}^\infty Li(x^{-2n})
$$
而这个和正好等于你提到的积分项：$\int_x^\infty \frac{dt}{t(t^2-1)\log t}$，因为当 $t>1$ 时，$\frac{1}{t(t^2-1)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{t^{2n+1}}$，逐项积分后就得到这个求和式。

第四步：验证留数的直觉 #

你提到的“留数等于 $Li(x^s)$”其实是这个分支变化贡献的简化表述——当我们把围道闭合后，每个零点/极点的贡献大小正好对应对数积分 $Li(x^s)$，符号由奇点类型（极点为正，零点为负）决定。

比如，对于简单零点 $\rho$，在 $\rho$ 附近 $\zeta(s) = (s-\rho)g(s)$（$g(\rho) \neq 0$ 且解析），所以 $\log \zeta(s) = \log(s-\rho) + \log g(s)$。当我们绕 $\rho$ 做一个小围道，$\log(s-\rho)$ 会增加 $2\pi i$，对应的积分贡献就是：
$$
\frac{1}{2\pi i} \times 2\pi i \times \int_{\rho} \frac{x^s}{s} ds = Li(x^\rho)
$$
向左闭合围道时，这个贡献的符号为负，正好对应展开式里的项。

这样整个推导就串起来了，每一步的关键都是利用ζ函数的无穷乘积展开把对数拆成可积分的项，再结合对数积分的定义完成计算。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者cry0genic