嘿，很高兴你能提出这么有意思的问题——这恰恰说明你在深入思考集合论定义背后的动机，而不是死记硬背，这点超棒！

一、能不能用{apple}这类非空集定义自然数？ #

从结构等价的角度来说，你的定义是技术上可行的，但需要分框架来看：

• 首先，自然数的核心本质是它的序数结构：满足递归后继规则、良序性、归纳原理，以及“m < n 等价于 m ∈ n”的序关系。你用{apple}作为0，按n⁺ = n ∪ {n}生成的序列，完全满足这些核心性质——这个序列和标准自然数集是同构的（可以建立一一对应，完美保持顺序和后继关系），只是每个“自然数”集合里的元素看起来不一样而已。
• 但要注意：在标准ZF集合论中，所有集合都是从空集通过幂集、并集等操作生成的，{apple}如果不是由空集构造出来的，它就属于“本元（urelement）”——即不是集合的元素，而ZF本身不包含本元。如果是允许本元的集合论（比如ZFU），那你的定义完全合法，只是这个自然数结构和标准结构本质上是“同一种”结构，只是元素的“载体”不同。

二、选择空集作为起点的技术优势 #

为什么主流集合论都用空集定义自然数？核心是它能带来一系列理论上的简洁性和兼容性：

• 自洽的封闭性：标准定义完全依赖集合论自身的公理（空集公理保证∅存在），不需要引入任何外部对象（比如“apple”这种需要额外解释的概念），整个自然数体系是ZF内部自足生成的，让理论更简洁、无冗余。
• 与基数的天然统一：标准自然数的定义刚好和集合的基数一一对应：0是空集（基数为0），1是{∅}（基数为1），2是{∅, {∅}}（基数为2）……每个自然数n恰好包含n个元素，这直接把自然数的“计数功能”和集合的基数概念完美融合，后续定义计数、大小比较时完全不需要额外转换。
• 兼容后续数学构造：整数、有理数、实数等核心数学概念，都是基于标准自然数定义出来的（比如整数是自然数有序对的等价类，实数是有理数柯西序列的等价类）。如果用非空集起点的自然数，这些后续构造都会变得复杂，因为底层的基数对应被打破了，需要额外调整才能保持一致性。
• 逻辑验证更直接：标准自然数可以非常顺畅地在ZF中验证皮亚诺公理的所有条款（比如归纳公理、后继唯一性等），所有推导都基于集合论的基本规则，不需要额外处理本元的特殊性质，降低了理论的复杂度。

总结一下：你的思路完全正确——自然数的核心是递归的序数结构，而非起点的具体元素，但空集作为起点的选择，是集合论追求简洁性、自洽性和兼容性的最优解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者InTheSearchForKnowledge