嗨，我来帮你拆解这个问题的核心逻辑和相关条件限制哈～

首先说为什么你提到的条件能保证存在性+唯一性 #

1. 唯一性：严格凹性直接搞定 #

严格凹函数的定义是，对任意两个不同的点 $x_1, x_2 \in A$，以及任意 $\lambda \in (0,1)$，都有 $f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) > \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2)$。假设存在两个不同的最大化子 $x_1, x_2$，它们的函数值都是最大值 $M = \sup_{x\in A}f(x)$，那代入上面的式子会得到：
$$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) > \frac{M + M}{2} = M$$
这就矛盾了——怎么可能有个点的函数值比最大值还大？所以只要最大化子存在，严格凹性就直接保证它是唯一的，这部分和 $A$ 是否有界关系不大。

2. 存在性：上半连续+有界超水平集+合适的A是关键 #

你说的“有界超水平集”是核心：对任意实数 $c$，集合 ${x \in A \mid f(x) \geq c}$ 都是有界的。这意味着当 $x$ 在 $A$ 中趋向无穷远时，$f(x)$ 一定会趋向负无穷（至少不会无限接近上确界 $M$），所以最大值不可能在“无穷远处”，必然落在某个有界区域里。

接下来结合上半连续的性质：上半连续函数在紧集上能取到最大值。那怎么把非紧的 $A$ 转化为紧集呢？

• 如果 $A$ 是闭集（比如闭矩形，比如 $\mathbb{R}^d$ 本身，或者 $[a,+\infty) \times [b,+\infty)$ 这种无界闭矩形），那我们取一系列超水平集 ${x \in A \mid f(x) \geq M - 1/n}$（$n=1,2,\dots$），这些集合都是非空的（因为 $M$ 是上确界）、有界的（你的条件），而且是闭集（$A$ 闭+上半连续函数的超水平集是闭集）。根据Bolzano-Weierstrass定理，这一系列集合的交集非空，交集中的点就是满足 $f(x)=M$ 的最大化子。
• 如果 $A$ 是开集（比如开矩形），情况就不一定了：比如 $A=(0,+\infty)$，$f(x)=-x^2$，它满足严格凹、上半连续、超水平集有界，但上确界是0，却没有点能取到这个值（因为0不在A里）；但如果 $A=(0,+\infty)$，$f(x)=-(x-1)^2$，最大值在 $x=1$（属于A），这时候就存在唯一最大化子。所以开集的情况下，存在性取决于最大值点是否落在A内部，这没法单纯靠函数条件保证，得看A和函数的具体匹配。

关于A的选择建议 #

如果你不想A有界，优先选闭的无界矩形（比如 $[a,+\infty) \times [b,+\infty) \times \dots$），这样结合你说的函数条件，就能稳稳保证存在唯一的最大化子。要是选开矩形，就得额外确认函数的最大值点确实在开矩形内部，不然就会出现“有上确界但取不到”的情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user12703198