嗨，我来帮你一步步推导出这个二元分布函数哈！首先先拆解你的采样逻辑：你的random_point()里x和y是独立生成的（两次调用独立的均匀随机变量），而且生成规则完全一致，所以这个二元分布其实是两个独立同分布边缘分布的乘积，我们先搞定单个变量的边缘分布，再合并就好啦。

步骤1：明确变量生成关系 #

你用的是(0,1)上的均匀随机变量U（也就是代码里的random()），单个变量X的生成式是：

X = exp(s / ln(U))

我们先把这个式子变形，解出U关于X的表达式，方便后续用概率密度变换公式：

对X取自然对数：ln(X) = s / ln(U)
移项得：ln(U) = s / ln(X)
再取指数：U = exp( s / ln(X) )

步骤2：确定X的取值范围 #

因为U∈(0,1)，所以ln(U)是负无穷到0的负数，而s>0，所以s/ln(U)也是负无穷到0的负数，因此X=exp(s/ln(U))的取值范围是**(0,1)**。

步骤3：用密度变换公式求边缘分布f_X(x;s) #

均匀分布U的密度函数是f_U(u)=1（当u∈(0,1)时）。根据概率密度变换公式：

f_X(x) = f_U(u(x)) * |du/dx|

我们先求du/dx：

1. 令t = s / ln(x)，则u(x) = exp(t)
2. 求导得：du/dx = exp(t) * dt/dx
3. 计算dt/dx：dt/dx = -s / (x * (ln(x))²)（链式法则：对s*(ln(x))^-1求导）
4. 代入后取绝对值：|du/dx| = exp(s/ln(x)) * s / (x * (ln(x))²)

因为u(x)∈(0,1)（X∈(0,1)时），所以f_U(u(x))=1，最终得到X的边缘密度：

f_X(x;s) = s * exp( s / ln(x) ) / ( x * (ln(x))² ) ，其中x∈(0,1)，s>0

步骤4：得到二元分布f(x,y;s) #

因为X和Y是独立同分布的，所以二元密度就是两个边缘密度的乘积：

f(x,y;s) = [s * exp(s/ln(x)) / (x*(ln(x))²)] * [s * exp(s/ln(y)) / (y*(ln(y))²)]

整理后就是：

f(x,y;s) = s² * exp( s*(1/ln(x) + 1/ln(y)) ) / ( x*y*(ln(x))²*(ln(y))² )

其中x∈(0,1)，y∈(0,1)，s>0。

这个函数完全对应你的采样点分布：当x或y趋近0或1时，密度会降低，中间区域密度更高，和你观察到的采样点密度趋势一致。而且当你调整s的取值时，这个函数会相应变化，符合你提到的参数影响。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J. Zimmerman