嘿，这个问题挺有意思的！你一开始觉得最远点在x轴上，这个直觉其实很准，咱们用数学方法严谨验证一下就清楚了～

首先，咱们的目标是找到椭圆 $\dfrac{(x-3)^{2}{25}+\dfrac{y}2}{16}=1$ 上到原点 $(0,0)$ 距离最大的点。直接用距离公式 $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ 计算有点麻烦，咱们可以换个思路：距离的最大值和距离平方的最大值对应同一个点，所以直接优化 $d^2 = x^2 + y^2$ 就好，省去开根号的步骤。

步骤1：把y²用x表示出来 #

从椭圆方程里解出 $y^2$：
$$y^2 = 16\left(1 - \dfrac{(x-3)^2}{25}\right)$$

步骤2：代入距离平方的表达式，转化为单变量函数 #

把上面的 $y^2$ 代入 $d^2$，得到只关于x的函数：
$$d^2 = x^2 + 16\left(1 - \dfrac{(x-3)^2}{25}\right)$$

接下来展开并整理这个式子：
$$
\begin{align*}
d^2 &= x^2 + 16 - \dfrac{16}{25}(x^2 - 6x + 9) \
&= x^2 - \dfrac{16}{25}x^2 + \dfrac{96}{25}x + 16 - \dfrac{144}{25} \
&= \dfrac{9}{25}x^2 + \dfrac{96}{25}x + \dfrac{256}{25}
\end{align*}
$$

步骤3：分析二次函数的单调性，找到最大值 #

这是一个开口向上的二次函数（二次项系数 $\dfrac{9}{25} > 0$），它的最小值在顶点处，但最大值得看x的取值范围：椭圆中心在 $(3,0)$，长半轴为5，所以x的范围是 $3-5=-2$ 到 $3+5=8$，也就是 $x \in [-2, 8]$。

这个二次函数的对称轴是 $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{16}{3} \approx -5.33$，在x的取值范围左侧，所以在 $[-2,8]$ 区间内，函数是单调递增的——x越大，$d^2$ 就越大。

步骤4：计算最大值对应的点 #

当x取最大值8时，代入椭圆方程：
$$\dfrac{(8-3)^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$$
计算得 $\dfrac{25}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$，解得 $y=0$，所以这个点是 $(8,0)$，到原点的距离是8。

验证：有没有非x轴上的点更远？ #

咱们用拉格朗日乘数法验证一下：构造拉格朗日函数 $L = x^2 + y^2 - \lambda\left(\dfrac{(x-3)^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} - 1\right)$，对x、y求偏导并令其为0：

• 对x求导：$2x - \lambda\cdot\dfrac{2(x-3)}{25} = 0$，化简得 $25x = \lambda(x-3)$
• 对y求导：$2y - \lambda\cdot\dfrac{2y}{16} = 0$，如果 $y \neq 0$，可得 $\lambda=16$，代入上式解得 $x=-\dfrac{16}{3}$，但这个x不在椭圆的x范围内，所以这种情况不存在。

也就是说，所有非x轴上的点都不可能比 $(8,0)$ 更远。

结论：椭圆上距离原点最远的点就是 $(8,0)$，你的直觉完全正确！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者basilinnia