我完全理解你的困惑，一开始看到这个描述确实容易懵——不过你对问题的解读是完全正确的！这里说的“圆与点A的夹角为θ”，就是指从点A向圆引两条切线，这两条切线之间的夹角等于θ。下面我来一步步拆解怎么解决这个问题，以及什么时候不存在这样的圆：

核心几何关系推导 #

首先我们先明确一个关键的几何结论：假设圆的圆心为O，半径为r，从A点引圆的两条切线，切点为T₁、T₂，那么∠T₁AT₂=θ。在直角三角形OAT₁中（切线垂直于半径），∠OAT₁=θ/2，所以有：
sin(θ/2) = r / OA
变形一下就是：OA = r / sin(θ/2)

同时，因为圆过B、C两点，所以OB=OC=r，也就是说圆心O必然在BC的垂直平分线上。这两个条件结合起来，就把问题转化成了：在BC的垂直平分线上找一点O，满足OA = OB / sin(θ/2)（因为OB=r）。

具体作图方法 #

你可以用几何作图或者代数计算的方式找到这个圆心O：

• 第一步：画出线段BC，作它的垂直平分线l（用圆规分别以B、C为圆心，大于BC一半长度为半径画弧，两弧交点的连线就是l）。
• 第二步：如果用几何法构造比例，可以先画一个直角三角形，其中一个锐角为θ/2，对边长度设为1，那么斜边长度就是1/sin(θ/2)，这个斜边和对边的比例就是我们需要的OA/OB的比值。
• 第三步：在垂直平分线l上寻找满足OA = k·OB（k=1/sin(θ/2)）的点O。如果用代数法更直接，可以建立坐标系：把BC中点放在原点，BC在x轴上，设B(-b,0)、C(b,0)，A(x₀,y₀)，O在垂直平分线（y轴）上坐标为(0,y)，代入OA² = (1/sin²(θ/2))·OB²，展开后是关于y的二次方程，解这个方程就能得到圆心的位置（可能有0个、1个或2个解）。

存在性判断（什么时候没有解） #

你说得没错，确实存在无法画出这样的圆的情况。从代数角度看，刚才的二次方程如果判别式小于0，就没有实根，也就是不存在这样的圆心O。换个直观的几何角度理解：
当θ很小的时候，sin(θ/2)接近0，这就要求OA远大于OB（圆的半径），如果A点离BC非常近，在BC的垂直平分线上可能找不到满足这个距离要求的点；反过来，如果θ接近180°，sin(θ/2)接近1，要求OA≈OB，这时候如果A点的位置不在能满足这个等式的垂直平分线上，也会无解。

简单来说，当你根据上述方程计算出来的y值是虚数时，就不存在这样的圆。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者madfd adfd