我最近在研究一个模方程的解，想要系统刻画所有满足条件的自然数$a, k, n$——也就是找出所有使得下式成立的正整数组合：
$$a(a^{k -1} +k)\equiv 0 \pmod{n} $$
这里对$a, k, n$没有任何额外限制，目标就是覆盖所有可能的解。

这个问题源于我偶然发现的一个实例：当$a=4, k=13, n=497$时，验证后确实满足
$$4^{13} \equiv 497 - 4\cdot 13 \equiv -4\cdot 13 \pmod{497} $$
之后我写了个简单脚本，又找到了不少类似例子，比如$a = 2, k = 23, n = 91$也符合这个方程，但我始终摸不清头绪，不知道该怎么去全面刻画所有解。

这不是作业题，纯粹是我自己好奇琢磨的问题。我自己有个初步的思路，但不确定是不是个可行的方向：

• 选取$m$个大于$a$的质数$p_1, \cdots, p_m$
• 令$k = 1 + \text{lcm} (p_1 -1, p_2 -1, \dots, p_m-1, p_1 \cdots p_m)$

这样对每个$i$，似乎能得到$a^{k-1} - k \equiv 0 \pmod{p_i}$，之后是不是可以借助中国剩余定理来切入原问题？不过这只是个模糊的想法，希望能得到更系统的刻画方法。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者A. L.