嘿，你发现的这个方程特性真的挺有意思的！从你给出的例子来看，核心是左边的表达式经过化简后其实恒等于右边的常数，所以虽然表面上用了不同的符号，但最终指向的有效范围（使得表达式有意义的变量取值）是完全一致的。

下面给你几个不同类型的类似案例，它们都具备“更换等号/小于号/大于号后，核心解集（定义域）保持一致”的特性：

一、反三角函数恒等式衍生案例 #

利用反三角函数的固定恒等关系，让左边表达式的值恒定：

• 基于$\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$（对所有实数$x$都成立），可以构造：
  $$\left(\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x)\right) \cdot 4 = 2\pi$$
  $$\left(\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x)\right) \cdot 4 < 2\pi$$
  $$\left(\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x)\right) \cdot 4 > 2\pi$$
  这里左边恒等于$2\pi$，所以第一个等式的解集是全体实数$\mathbb{R}$，后两个不等式的解集是空集，但三种情况对应的表达式有效定义域都是$\mathbb{R}$，和你的例子核心特性一致。
• 再比如基于$\sec^{-1}(x) = \cos^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$（当$|x| \geq 1$时），构造：
  $$\left(\sec^{-1}(x) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right) \cdot k = 2k\cos^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$$
  左边化简后恒等于右边，不管用=、<、>，表达式的有效定义域都是$|x| \geq 1$。

二、代数恒等式衍生案例 #

用代数上的恒等关系构造，让左边的值固定：

• 基于$\frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} = x + 1$（当$x \neq -1$时），可以构造：
  $$\frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} - (x + 1) = 0$$
  $$\frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} - (x + 1) < 0$$
  $$\frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} - (x + 1) > 0$$
  左边化简后恒等于0，所以第一个等式的解集是$x \neq -1$，后两个不等式的解集是空集，但三种情况的有效定义域都是$x \neq -1$。
• 更简单的例子：
  $$\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} \cdot c = c$$
  左边恒等于$c$，不管用=、<、>，表达式的有效定义域都是全体实数$\mathbb{R}$。

三、自定义函数构造案例 #

我们可以自定义一个值域为单点的函数，让它的取值固定：

• 定义$f(x) = 3$（对所有$x > 2$），构造：
  $$f(x) = 3$$
  $$f(x) < 3$$
  $$f(x) > 3$$
  第一个等式的解集是$x > 2$，后两个不等式的解集是空集，但三种情况对应的有效定义域都是$x > 2$，和你的例子特性匹配。

其实这类方程的本质是左边表达式的值是固定常数，不同符号只会影响“等式/不等式是否成立”，但如果你的关注点是“使得表达式有意义的变量范围”，那这个范围在三种情况下是完全一致的，这也是你例子里的核心特性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Srbin