嗨，我来帮你理清这两个问题哈～

关于你的证明是否正确 #

首先得明确，题目要求的是当且仅当的双向证明，而你目前只完成了其中一半：

• 你用反证法证明了：如果S是有限集，那么不存在真子集A⊂S使得A和S有双射——这其实是原命题中“反向（若存在这样的A则S无限）”的逆否命题，这部分的逻辑是完全正确的，有限集的真子集基数必然小于原集，不可能有双射，矛盾推导没问题。
• 但你漏掉了正向证明：如果S是无限集，那么一定存在这样的真子集A⊂S，使得A和S有双射。这部分没证的话，整个“当且仅当”的证明是不完整的哦。

关于“真子集和原集有双射”的困惑 #

这确实是无限集最反直觉的特性之一，但这恰恰是无限集的核心定义（或者说等价定义）！
我们对“子集比原集小”的认知来自有限集，但无限集里，“元素个数多少”的直觉不再适用，判断两个集合“元素数量等价”的唯一标准是是否存在双射（也就是等势）。

举个最直观的例子：自然数集$\mathbb{N}={0,1,2,3,...}$，它的真子集$A={1,2,3,4,...}$（去掉0的自然数集），我们可以构造映射$f(n)=n+1$：

• 每个$\mathbb{N}$里的元素n，都能对应到A里唯一的n+1，而且不会重复（单射）；
• 每个A里的元素k，都能找到$\mathbb{N}$里的k-1作为原像（满射）；
  所以这就是一个完美的双射，但A确实是$\mathbb{N}$的真子集。

你觉得“矛盾”是因为还在用有限集的“大小”概念套无限集，其实无限集的本质就是能和自己的某个真子集等势，这也是区分有限和无限集的关键标志。

补充正向证明的思路 #

如果要补全正向证明，可以这么做：
因为S是无限集，所以我们总能从S中取出一个可数的无限子集，比如${a_0,a_1,a_2,a_3,...}$（无限集必然包含可数子集，这个是离散数学里的基础结论）。
构造真子集$A = S \setminus {a_0}$，然后定义映射$f:S \to A$：

• 对于$a_i \in {a_0,a_1,a_2,...}$，令$f(a_i)=a_{i+1}$；
• 对于S中不属于这个可数子集的元素x，令$f(x)=x$。
  这个映射既是单射又是满射，也就是双射，所以A和S等势，而A是S的真子集，正向得证。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Armagidon