嘿，我来帮你梳理这个问题，你的思路方向其实完全没问题！咱们一步步拆解来看，把这个问题落地成可操作的步骤～

首先先明确问题的核心：我们在三维空间里，有由点A、B、J确定的平面（你说的“made up of vectors A,B,J”应该是指这三个点共面），要找到向量C满足三个条件：

• BC与BA垂直（向量点积为0：BC · BA = 0）
• C落在这个平面上
• 向量BC的长度为d

你提到的“先找满足前两个条件的向量，归一化后缩放至长度d”这个方法是完全可行的，关键是怎么准确找到那个符合要求的方向向量，下面给你两种具体的实现思路：

方法一：用叉乘快速构造垂直向量 #

因为平面由BA和BJ两个向量张成（BA = A - B，BJ = J - B），我们可以通过两次叉乘得到平面内垂直于BA的向量：

1. 先计算平面的法向量：n = BA × BJ（叉乘结果垂直于整个平面）
2. 再用这个法向量和BA叉乘：v = n × BA
   • 这个v必然在平面内（因为它垂直于法向量n），同时也必然垂直于BA（叉乘的结果和两个因子都垂直）
3. 对v做归一化处理：v_unit = v / |v|（|v|是向量v的模长）
4. 缩放得到目标向量：BC = d * v_unit（或者-d * v_unit，这就是你说的两个解，选其中一个即可）
5. 最后得到向量C：C = B + BC

方法二：线性代数推导法 #

既然C在平面内，那向量BC可以表示为BA和BJ的线性组合：BC = x*BA + y*BJ（x、y是待求系数）
结合垂直条件BC · BA = 0，代入展开：

(x*BA + y*BJ) · BA = 0
→ x*|BA|² + y*(BJ · BA) = 0
→ x = -y*(BJ · BA)/|BA|²

把x代入BC的表达式，就能得到：
BC = y*[ -(BJ · BA)/|BA|² * BA + BJ ]
这里y是任意非零常数，你只需要调整y的值，让|BC| = d就行——本质上还是先确定方向，再缩放长度，和你的思路完全一致。

举个简单例子验证：假设B是原点(0,0,0)，A是(1,0,0)，J是(0,1,0)（平面为xy平面），BA是(1,0,0)，按照方法一计算，n = BA × BJ = (0,0,1)，v = n × BA = (0,1,0)，归一化后乘d得到BC=(0,d,0)，对应的C就是(0,d,0)，完全符合所有条件。

总之，你的初始思路是正确的，只要按上面的方法找到平面内垂直于BA的方向向量，再缩放至长度d，就能得到你需要的向量C啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者satindressedup4