别慌！我来一步步给你拆解怎么用解析法求二次函数的最小值，其实核心就是利用代数或者微积分的基本性质，一点都不复杂～

一、先从最简单的一元二次函数说起 #

标准形式是 f(x) = ax² + bx + c，首先要确认a>0（函数开口向上），这样才有最小值；如果a<0，函数开口向下，只有最大值没有最小值哦。

方法1：代数配方法 #

把原式配成完全平方的形式：

f(x) = a(x + b/(2a))² + (c - b²/(4a))

因为平方项(x + b/(2a))²永远是非负的，所以当这个平方项等于0的时候，函数取得最小值。也就是当 x = -b/(2a) 时，最小值为 c - b²/(4a)。

举个例子：比如 f(x)=2x²+4x+1，配完方是 2(x+1)² -1，所以当x=-1时，最小值是-1。

方法2：微积分求导法 #

对函数求一阶导数：

f’(x) = 2ax + b

极值点的必要条件是一阶导数为0，令f’(x)=0，解出 x = -b/(2a)。再验证二阶导数f''(x)=2a>0，说明这个点是极小值点，而因为一元二次函数是凸函数，这个极小值点就是整个定义域的最小值点，代入原式就能得到最小值。

二、多元二次函数（二次型）的情况 #

如果是多元的，比如二元甚至更高维度的二次函数，通常写成矩阵形式：f(x) = (1/2)xᵀAx + bᵀx + c，这里A必须是对称正定矩阵（保证函数是凸函数，存在全局最小值）。

步骤如下：

• 第一步：对向量x求梯度，梯度结果是 ∇f(x) = Ax + b
• 第二步：令梯度等于零向量，解线性方程组 Ax + b = 0，得到最小值点 x = -A⁻¹b（A⁻¹是矩阵A的逆矩阵）
• 第三步：把这个最小值点代入原函数，就能算出最小值：f_min = c - (1/2)bᵀA⁻¹b

比如二元函数f(x₁,x₂)=x₁² + 2x₂² + 2x₁x₂ + 2x₁ + 4x₂ + 1，写成矩阵形式后A是正定矩阵，按上面步骤解就能得到最小值点和对应的最小值。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Michael