一、非对称矩阵实特征值的几何意义 #

对于非对称矩阵对应的线性变换（这类变换不保持向量内积，没有正交性保证），如果它只有实特征值，最核心的几何解释是：这个线性变换存在一组实特征向量构成的基，整个空间可以被分解为若干个一维不变子空间的直和。

简单来说，就是存在若干个固定方向（特征方向），当向量处于这些方向上时，经过线性变换后只会被缩放（伸长或缩短），不会被“旋转”到其他方向的组合中。和对称矩阵不同的是，非对称矩阵的实特征向量不一定正交，只是各自的方向都是变换的“不变方向”而已。比如2×2非对称实矩阵有两个实特征值时，就意味着存在两个独立的方向，向量在这两个方向上的变换结果只会沿着原方向变化。

二、随机矩阵乘积的实特征值现象 #

你观察到的“多个IID随机矩阵相乘后，几乎总是得到仅含实特征值的矩阵”这个结论很有意思，从线性变换的视角可以这样解读：
当你把多个随机线性变换复合起来时，这个复合变换会逐渐“强化”某个主导方向，抵消掉随机变换中的旋转分量。就像你用幂迭代法看到的那样，反复应用这些复合变换后，任意初始向量的轨迹都会收敛到某条固定直线上——这正是实特征值对应的“不变方向”的体现。

如果复合后的矩阵存在复特征值，对应的线性变换本质上是在某个二维子空间里做旋转+缩放的组合，此时幂迭代的结果不会收敛到固定直线，而是呈现螺旋状的轨迹。但当复合的随机矩阵数量足够多时，这种旋转效应会被大量独立的随机变换相互抵消，最终复合变换的效果会趋近于纯缩放的实特征值情况。

三、代码示例与向量演化轨迹 #

你给出的Mathematica代码可以很好地验证这个现象：

n = 2;
depth = 10;
dist = NormalDistribution[];
sample := RandomVariate[dist, {n, n}]/Sqrt[n];
sampled := Nest[sample . # &, sample, depth - 1];
Eigenvalues[sampled] (* {-0.859186, 0.613002} *)

从向量演化的角度对比两种情况：

• 实特征值矩阵：任意初始向量（比如(1,1)向量）经过多次变换后，会逐渐对齐到主导特征值对应的方向，轨迹最终收敛到这条直线上，这也是幂迭代法能有效找到主导特征向量的原因。
• 复特征值矩阵：向量的轨迹会呈现螺旋形态，不会收敛到固定直线，因为变换中存在旋转分量，会持续改变向量的方向。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Yaroslav Bulatov