嗨，我来给你分享几个符合需求的算子例子，都是能手动分析不变子空间、没有特征值，部分还能和非零紧算子交换的：

• ℓ²(ℤ)上的双边右平移算子
  定义很直观：对序列 ( x = (\dots, x_{-2}, x_{-1}, x_0, x_1, x_2, \dots) \in \ell^2(\mathbb{Z}) )，算子 ( T ) 把每个元素向右移一位，即 ( (Tx)n = x{n-1} )（对所有整数 ( n )）。

  • 无特征值：假设存在 ( \lambda \in \mathbb{C} ) 和非零 ( x \in \ell^2(\mathbb{Z}) ) 满足 ( Tx = \lambda x )，那么对所有 ( n ) 有 ( x_{n-1} = \lambda x_n )，递推可得 ( x_n = \lambda^{n-k}x_k )（任意整数 ( k )）。若 ( |\lambda| \neq 1 )，当 ( n \to \pm\infty ) 时 ( |x_n| ) 要么趋于无穷（违反ℓ²范数有限）要么趋于0（只能是 ( x=0 )）；若 ( |\lambda|=1 )，序列 ( |x_n|=|x_0| ) 是常数，范数无穷，也不在ℓ²里，因此没有非零特征向量。
  • 手动找不变子空间：比如所有支撑在非负整数上的序列（即 ( x_n=0 ) 当 ( n<0 )），或者支撑在 ( {k, k+1, \dots} )（任意整数 ( k )）的序列——平移后这些序列的支撑范围不变，自然属于原空间，验证起来非常简单。

• ℓ²(ℕ)上的加权向前移位算子（无特征值版）
  定义：取权重序列 ( w_n = 1 + 1/\sqrt{n} )（( n \geq 1 )），算子 ( S_w ) 作用在 ( x = (x_0, x_1, x_2, \dots) \in \ell^2(\mathbb{N}) ) 上，( (S_w x)_0 = 0 )，( (S_w x)n = w_n x{n-1} )（( n \geq 1 )）。

  • 无特征值：假设 ( S_w x = \lambda x )，则递推得 ( x_n = \frac{w_1 w_2 \dots w_n}{\lambda^n}x_0 )。权重乘积 ( w_1\dots w_n = \prod_{k=1}^n (1+1/\sqrt{k}) \approx e^{\sum_{k=1}n 1/\sqrt{k}} \approx e^{2\sqrt{n}} )，不管 ( \lambda ) 取什么复数，( e^{{2\sqrt{n}}/|\lambda|}n ) 当 ( n \to \infty ) 时都会趋于无穷，导致 ( \sum |x_n|^2 ) 发散，只有 ( x=0 ) 满足条件，因此无特征值。
  • 不变子空间：比如所有前 ( k ) 个分量为0的序列（即 ( x_0=x_1=\dots=x_{k-1}=0 )），加权移位后这些序列的前 ( k ) 个分量仍为0，显然属于原空间。
  • 与紧算子交换：构造对角紧算子 ( D(x)_n = \frac{1}{w_1 w_2 \dots w_n}x_n )，由于权重乘积趋于无穷，( D ) 的对角元趋于0，因此 ( D ) 是紧算子。直接计算可得 ( S_w D = D S_w )，完美满足交换性。

• L²[0,1]上的Volterra积分算子
  这个你已经知道，但再强调下它符合“与紧算子交换”的要求：
  定义：( (Vf)(t) = \int_0^t f(s)ds )，对所有 ( f \in L^2[0,1] )。

  • 无特征值：若 ( Vf = \lambda f )，求导得 ( f(t) = \lambda f'(t) )，解为 ( f(t) = Ce^{t/\lambda} )，代入原方程可得只有 ( C=0 ) 成立，因此无特征值。
  • 不变子空间：比如所有在 ( [0,a] ) 上几乎处处为0的函数（( 0 < a < 1 )），验证：( Vf(t) = \int_0^t f(s)ds )，当 ( t \leq a ) 时积分是0，当 ( t > a ) 时积分仅来自 ( [a,t] )，结果在 ( [0,a] ) 上仍为0，属于原空间。
  • 与紧算子交换：Volterra算子本身就是紧算子（积分核连续的积分算子在L²上是紧的），所以它和自己交换，完全符合Lomonosov定理的条件。

• H²(𝔻)上的单边向前移位算子
  定义：对单位圆盘上的Hardy空间 ( H^2(\mathbb{D}) ) 中的解析函数 ( f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n )，算子 ( S(f)(z) = z f(z) = \sum_{n=1}^\infty a_{n-1} z^n )。

  • 无特征值：若 ( S(f) = \lambda f )，则 ( z f(z) = \lambda f(z) )，即 ( (z-\lambda)f(z)=0 ) 在单位圆盘内成立。由于 ( f ) 是解析函数，只能是 ( f=0 )，因此无特征值。
  • 不变子空间：经典的例子是内函数生成的子空间 ( \theta H^2 )（( \theta ) 是内函数，即边界上模为1的解析函数），简单点的话，取 ( \theta(z)=z^k )，对应的子空间就是所有前 ( k ) 个系数为0的解析函数，手动验证：( S(z^k g(z)) = z^{k+1}g(z) = z^k(z g(z)) \in z^k H^2 )，确实不变。

这些算子都能手动分析不变子空间，且满足无特征值的要求，其中加权移位、Volterra算子还能和非零紧算子交换，完全符合你的需求~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者anon