嘿，你的初始思路完全正确！从$b+c = a(bc - a)$入手，并且意识到$a$必须小于等于$bc-1$（否则右边为负，和左边正整数的性质矛盾），这已经为用有界性估计缩小变量范围铺好了路。接下来我们就一步步把这个问题拆解成有限个可枚举的情况：

步骤1：用Simon Favorite Factoring Trick（SFFT）转化方程 #

原方程$a² + b + c = abc$，先移项整理：
$$abc - b - c = a²$$
为了凑出因式分解的形式，两边乘以$a$：
$$a²bc - ab - ac = a³$$
两边加1后，左边可以因式分解为乘积形式：
$$(ab - 1)(ac - 1) = a³ + 1$$
这个转化非常关键！现在问题变成了：$ab-1$和$ac-1$是$a³+1$的一对正因数，且它们都满足模$a$余$-1$（因为$ab-1 ≡ -1 \pmod{a}$，同理$ac-1 ≡ -1 \pmod{a}$）。

步骤2：枚举小值$a$的情况 #

因为正整数$a$的取值一旦变大，$a³+1$的因数结构会越来越简单，我们先从$a=1,2,3,4,5$开始枚举：

当$a=1$时 #

代入转化后的方程：$(b-1)(c-1) = 1³ + 1 = 2$
2的正因数对为$(1,2)$和$(2,1)$，对应解：

• $(b-1,c-1)=(1,2) → (1,2,3)$
• $(b-1,c-1)=(2,1) → (1,3,2)$

当$a=2$时 #

转化后的方程：$(2b-1)(2c-1) = 2³ + 1 = 9$
9的正因数对为$(1,9),(3,3),(9,1)$，对应解：

• $(2b-1,2c-1)=(1,9) → (2,1,5)$
• $(2b-1,2c-1)=(3,3) → (2,2,2)$
• $(2b-1,2c-1)=(9,1) → (2,5,1)$

当$a=3$时 #

转化后的方程：$(3b-1)(3c-1) = 3³ + 1 = 28$
28的正因数中，满足模3余2（因为$3b-1 ≡ -1 ≡2 \pmod{3}$）的是2和14，对应解：

• $(3b-1,3c-1)=(2,14) → (3,1,5)$
• $(3b-1,3c-1)=(14,2) → (3,5,1)$

当$a=4$时 #

转化后的方程：$(4b-1)(4c-1) = 4³ + 1 = 65$
65的正因数为1,5,13,65，其中没有满足模4余3（$4b-1≡-1≡3\pmod{4}$）的因数，因此无解。

当$a=5$时 #

转化后的方程：$(5b-1)(5c-1) = 5³ + 1 = 126$
126的正因数中，满足模5余4（$5b-1≡-1≡4\pmod{5}$）的是9和14，对应解：

• $(5b-1,5c-1)=(9,14) → (5,2,3)$
• $(5b-1,5c-1)=(14,9) → (5,3,2)$

步骤3：用有界性证明$a≥6$时无解 #

当$a≥6$时，$a³+1=(a+1)(a²-a+1)$，且这两个因子的最大公约数$\gcd(a+1,a²-a+1)=\gcd(a+1,3)$，要么是1要么是3。我们分析所有可能的因数对：

1. 若取因数对$(1,a³+1)$：$ab-1=1 → ab=2$，但$a≥6$时，$b$不可能是正整数；
2. 若取因数对$(a+1,a²-a+1)$：$ab-1=a+1 → ab=a+2 → b=1+\frac{2}{a}$，$a≥6$时$\frac{2}{a}$不是整数，$b$非正整数；
3. 其他因数要么太小要么太大，无法满足$ab-1≡-1\pmod{a}$的条件，均无法得到正整数$b,c$。

因此$a≥6$时没有正整数解。

所有正整数三元组解汇总 #

把上述情况整理，所有解为：

• $(1,2,3), (1,3,2)$
• $(2,1,5), (2,2,2), (2,5,1)$
• $(3,1,5), (3,5,1)$
• $(5,2,3), (5,3,2)$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Victor