先理清楚问题里的图形关系：未旋转的椭圆最低点在原点(0,0)，x轴方向半轴为a，y轴方向半轴为b，所以椭圆的中心在(0, b)，对应的方程是：

x²/a² + (y - b)²/b² = 1

（题目说的右下四分之一椭圆，对应x>0、y∈[0,b]的部分，也就是从原点(0,0)到点(a,b)的这段曲线）

半径为r的小圆和这段椭圆相切，且圆的顶部y坐标为h，所以圆心的y坐标是h - r，设圆心x坐标为x_c，圆的方程为：

(x - x_c)² + (y - (h - r))² = r²

要找到切点的x坐标，我们需要利用两个核心相切条件：切点同时在椭圆和圆上，切点处两者的切线斜率完全相等。下面是具体的推导和求解步骤：

步骤1：建立关联方程 #

首先，针对右下部分椭圆，我们可以把y用x表示出来：

y = b - b√(1 - x²/a²)

为了简化后续计算，令s = √(1 - x²/a²)，则x = a√(1 - s²)，y = b(1 - s)，其中s ∈ [0,1]（对应x从0到a，y从b到0的范围）。

再定义辅助变量D = b + r - h（用来简化表达式），结合斜率相等的条件，最终可以推导出关于s的四次方程：

b²(a² - b²)s⁴ - 2bD(a² - b²)s³ + [b⁴ + D²(a² - b²) - a²r²]s² - 2b³Ds + D²b² = 0

步骤2：数值求解四次方程 #

这个四次方程没有简洁的解析解，实际应用中推荐用牛顿迭代法来数值求解，具体步骤如下：

1. 定义函数f(s)为上述四次方程的左边，同时求它的导函数f’(s)：

   f(s) = b²(a² - b²)s⁴ - 2bD(a² - b²)s³ + [b⁴ + D²(a² - b²) - a²r²]s² - 2b³Ds + D²b²
   f’(s) = 4b²(a² - b²)s³ - 6bD(a² - b²)s² + 2[b⁴ + D²(a² - b²) - a²r²]s - 2b³D
   

2. 选择一个初始迭代值（比如s₀=0.5，如果能预判切点大致位置，初始值可以更精准），然后重复迭代计算：

   sₙ₊₁ = sₙ - f(sₙ)/f’(sₙ)
   

3. 直到相邻两次迭代的s值差小于设定的精度（比如1e-8），就得到了收敛的s值。

步骤3：计算切点的x坐标 #

得到收敛的s后，代入下式就能算出切点的x坐标：

x = a√(1 - s²)

示例验证 #

举个实际例子：设a=2，b=1，r=0.5，h=1.2，则D=1+0.5-1.2=0.3，代入四次方程后通过牛顿迭代得到s≈0.75，最终x≈2*√(1-0.75²)=1.32，和预期的相切位置吻合。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者eirirlar