嘿，这个问题其实很典型——刚学级数的时候，手里能用的工具有限，很容易卡在看似没突破口的题目上。你提到的几个方法里，定义法（部分和极限）其实是可行的，只是需要先做一步关键的变形：部分分式分解。

先把通项的分母因式分解：$n^3 - n = n(n-1)(n+1)$，然后我们可以把分式拆成部分和：

$$\frac{1}{n(n-1)(n+1)} = \frac{1}{2(n-1)} - \frac{1}{n} + \frac{1}{2(n+1)}$$

你可以自己通分验证一下这个分解是对的。接下来看级数的部分和$S_N = \sum_{n=2}^N \frac{1}{n^3 -n}$，代入分解后的式子：

$$S_N = \sum_{n=2}^N \left( \frac{1}{2(n-1)} - \frac{1}{n} + \frac{1}{2(n+1)} \right)$$

现在我们把这个求和展开，调整下标后就能看到明显的望远镜抵消效果：

把三个求和项分开处理：

• 第一个项：$\frac{1}{2}\sum_{n=2}^N \frac{1}{n-1} = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{N-1}\right)$
• 第二个项：$-\sum_{n=2}^N \frac{1}{n} = -\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{N}\right)$
• 第三个项：$\frac{1}{2}\sum_{n=2}^N \frac{1}{n+1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} + ... + \frac{1}{N} + \frac{1}{N+1}\right)$

把这三部分合并后，中间的大部分项都会相互抵消，最后剩下：

$$S_N = \frac{1}{4} - \frac{1}{2N(N+1)}$$

现在看当$N \to \infty$时，$\frac{1}{2N(N+1)}$会趋近于0，所以部分和的极限是$\frac{1}{4}$——根据级数收敛的定义，这个级数是收敛的，和为$\frac{1}{4}$。

你之前没发现抵消效果，只是因为没先做部分分式分解，这是这类分式级数的常用技巧，刚好也符合你被允许使用的定义法范畴。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jairo