嘿，我看了你的问题，先帮你理清楚目前的核心问题所在：

首先，你对原三阶多项式的化简存在错误，这也是你困惑那个额外的$a_{1}c_{2}s$项的原因。咱们来验证一下：
原三阶多项式是：
$$a_{1}c_{1}c_{2}b_{1}s^{{3}+b_{1}c_{2}s}{2}+a_{1}(c_{1}+c_{2})s+1$$
而你展开后的式子$(b_{1}c_{2}s^{2}+1)(a_{1}c_{2}s+1)+a_{1}c_{2}s$，计算展开结果是：
$$a_1b_1c_2^2s3 + b_1c_2s^2 + 2a_1c_2s + 1$$
对比原多项式，只有当$c_1 = c_2$时两者才相等，显然这不是普遍成立的情况，所以你的化简步骤出错了，这个额外的$a_{1}c_{2}s$是错误操作带来的，并非原分母的一部分。

接下来，回到你求传递函数极点的需求：传递函数的极点是分母等于0时的$s$值，你的原分母是两个因子的乘积：
$$(a_{2}c_{3}s+1) \times \left(a_{1}c_{1}c_{2}b_{1}s^{{3}+b_{1}c_{2}s}{2}+a_{1}(c_{1}+c_{2})s+1\right)$$
所以极点就是分别让这两个因子等于0的解：

1. 一阶因子的根很简单：令$a_{2}c_{3}s+1=0$，得到$s = -\frac{1}{a_{2}c_{3}}$
2. 三阶多项式的根，你可以用这些方法求解：
   • 尝试因式分解：用有理根定理，可能的有理根是$\pm1, \pm\frac{1}{a_1b_1c_1c_2}, \pm\frac{1}{b_1c_2}, \pm\frac{1}{a_1(c_1+c_2)}$这类形式，代入三阶多项式看看是否满足等于0的条件，如果找到一个根$s_0$，就可以用多项式除法把三阶式分解为$(s-s_0)$乘以一个二次式，再求二次式的根。
   • 三次方程求根公式：如果找不到有理根，就用卡尔达诺公式直接计算三次方程的根，不过公式比较繁琐，手动计算容易出错。
   • 数值方法：如果是工程应用，直接用工具计算更高效，比如用Python的numpy.roots()函数，或者Matlab的roots()函数，把三阶多项式的系数列表输入进去就能得到三个根（可能是实根或共轭复根）。

总结一下：你现在需要先修正化简的错误，回到原始的分母乘积形式，再分别求解每个因子的根，这些根就是传递函数的极点，那个额外的$a_{1}c_{2}s$是错误化简的产物，不用去“处理”它，只要回到正确的表达式就行。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Young_Electronic