先跟大家梳理一下整个问题的推导思路和过程：

首先明确我们用到的变换定义：下面这个式子叫做仿射变换，当$λ=1$时它被称为全等变换。根据问题背景，我推导得到的变换表达式为：

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix} x' \ y' \end{pmatrix} & = λ\begin{pmatrix} a & c \ b & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e \ f \end{pmatrix}
\end{align*}
$$

结合题目给出的一组对应向量：
$$
r_0 = \begin{pmatrix}0 \0\end{pmatrix},
r_1 = \begin{pmatrix}1 \0\end{pmatrix},
r_2 = \begin{pmatrix}1 \2\end{pmatrix},
r_0^{'} = \begin{pmatrix}2 \1\end{pmatrix},
r_1^{'} = \begin{pmatrix}5 \2\end{pmatrix},
r_2^{'} = \begin{pmatrix}3 \8\end{pmatrix}
$$

我计算出了变换的各个参数：$a = 3/\sqrt{10}, b = 1/\sqrt{10}, c = -1/\sqrt{10}, d = 3/\sqrt{10}, λ = \sqrt{10}, e = 2, f = 1$。把这些参数代入原变换式，可化简得到更简洁的形式：

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix} x' \ y' \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3 & -1 \ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}
\end{align*}
$$

写成方程组形式就是：
$$
\begin{align*}
\begin{cases} x' = 3x - y + 2 \ y' = x+3y + 1 \end{cases}
\end{align*}
$$

接下来看两个椭圆的方程：

• 椭圆$F_a$：$\dfrac{x^2}{l2} + \dfrac{y^2}{m2} = 1$（$l,m$为正实数）
• 椭圆$F_b$：$\dfrac{x'^2}{l'2} + \dfrac{y'^2}{m'2} = 1$（$l',m'$为正实数）

我们的目标是找到从$F_a$变换到$F_b$的这个特定仿射变换存在的充要条件，这里需要考虑$l$与$m$、$l'$与$m'$的大小关系：$l > m, l < m, l = m$（对应$F_a$是长轴在x/y轴的椭圆或圆），以及$l' > m', l' = m', l' < m'$（对应$F_b$的类型）。

核心推导过程 #

我把变换后的$x'$和$y'$代入$F_b$的方程，展开并整理成标准二次曲线形式：
$$
\begin{align*}
&(3x-y+2)^2(m')2 + (x+3y+1)^2(l')2 = (m'l')^2 \
& = (9x^2-6xy+12x+y2-4y+4)(m')^2 + (x^2+6xy+2x+9y2+6y+1)(l')^2 \
& = (9m'^2+l'2)x^2 + (m'^2+9l'2)y^2 + (-6m'^2+6l'2)xy + (12m'^2+2l'2)x + (-4m'^2+6l'2)y + 4m'^2 + l'^2 - (m'l')^2 \
& \equiv Ax^2 +By^2+Cxy+Fx+Gy+H=0
\end{align*}
$$

这里要注意：仿射变换把椭圆映射为椭圆的核心充要条件是，整理后的二次曲线满足椭圆的判别式要求：$B^2 - 4AC < 0$（这是二次曲线为椭圆的关键判断条件）。

将我们整理得到的$A,B,C$代入该判别式，即可得到最终的不等式条件：
$$
(m'^2+9l'2)^2 - 4(9m'^2+l'2)(-6m'^2+6l'2) < 0
$$

关于长短轴/圆的特殊情况补充 #

针对题目提到的$l,m,l',m'$的大小关系：

• 当$l=m$时，$F_a$是圆；当$l'=m'$时，$F_b$是圆。此时需要额外验证该变换是否能将圆映射为圆（只有全等或相似变换能做到，代入我们的变换参数即可判断）。
• 当$l≠m$或$l'≠m'$时，本质是椭圆长轴短轴方向的对应问题，但核心的充要条件仍为上述的判别式不等式，同时我们的变换矩阵行列式为$3×3 - (-1)×1=10≠0$，天然满足仿射变换的可逆性要求。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sonamu