我现在碰到了这么一个不等式证明问题，想请大家给点思路：

若 $a,b,c\ge 0$ 且 $ab+bc+ca=3$，证明：
$$\sqrt{\frac{a}{a+b+6}}+\sqrt{\frac{b}{c+b+6}}+\sqrt{\frac{c}{a+c+6}}\le \frac{3\sqrt{2}}{4}.$$

我一开始尝试用柯西-施瓦茨不等式来处理，但没想到这条路导出了反向的不等式，具体过程是这样的：

首先，我把原式左边拆成柯西的形式：
$$\sum_{cyc}\sqrt{\frac{a}{a+b+6}}=\sum_{cyc}(\sqrt{a}\cdot\sqrt{\frac{1}{a+b+6}})\le \sqrt{(a+b+c)\sum_{cyc}\frac{1}{a+b+6}}.$$

这时候本来想通过证明下面这个不等式来推进：
$$\sqrt{(a+b+c)\sum_{cyc}\frac{1}{a+b+6}}\le \frac{3\sqrt{2}}{4},$$
也就是等价于要证明：
$$\frac{1}{a+b+6}+\frac{1}{c+b+6}+\frac{1}{a+c+6}\le \frac{9}{8(a+b+c)}.$$

但我再用一次柯西-施瓦茨不等式后，得到的却是反向的结果：
$$\frac{1}{a+b+6}+\frac{1}{c+b+6}+\frac{1}{a+c+6}\ge\frac{9}{2(a+b+c)+18} \ge \frac{9}{8(a+b+c)}.$$

这说明我用的方法不对，现在希望能看到一些可行的思路，谢谢大家的关注！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tran Ngoc Khuong Trang